电磁场中带电体运动问题的分类和简化.doc

电磁场中带电体运动问题的分类和简化
如皋中学 吴天明
带电粒子在复合场中的运动问题在历年高考中出现频率高，难度大，纵观十多年来的高考，磁场这部分每年至少一题，且以考查洛仑兹力为多见，因而在复习中必须加强对与该知识点有关联的题目的解题训练，并掌握解决该类题目的方法，这对在高考中区得优异成绩至关重要。带电粒子在复合场中的运动的命题，情景新颖、数理结合、联系实际是高考命题的特点。集中融合力学、电磁学等知识，其特点构思新颖、综合性强，突出考查考生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力及空间想象能力. 经常通过变换过程情景、翻新陈题面貌、突出动态变化的手法结合社会、生产、科技实际来着重考查综合分析能力、知识迁移和创新应用能力。
当然要正确、迅速解答带电粒子在复合场内运动类问题，首先必须弄清物理情境，即在头脑中再现客观事物的运动全过程，对问题的情境原型进行具体抽象.从而建立起正确、清晰的物理情境.其二，考生应对物理知识有全面深入的理解.其三，熟练掌握运用数学知识是考生顺利解决物理问题的有效手段.
这里所说的复合场是指重力场、电场、磁场并存的复合场，分析方法和力学问题的分析方法基本相同，不同之处就是多了电场力和磁场力，其思路、方法与解题步骤相同，因此在利用力学的三大观点（动力学、能量、动量）分析的过程中，还要注意：
（1）洛伦兹力永远与速度垂直、不做功，但洛仑兹力的变化与否将间接影响到重力与电场力等力的做功情况。
（2）重力、电场力做功与路径无关，只由初末位置决定，当重力、电场力做功不为零时，粒子动能变化.因而洛伦兹力也随速率的变化而变化，洛伦兹力的变化导致了所受合外力变化，从而引起加速度变化，使粒子做变加速运动.
处理这类综合题，应把握以下几点：(1)熟悉电场力、磁场力大小的计算和方向的判别；(2)熟悉带电粒子在匀强电场和匀强磁场里的基本运动，如加速、偏转、匀速圆周运动等；(3)通过详细地分析带电体运动的全部物理过程，找出与此过程相应的受力情况及物理规律，遇到临界情况或极值情况，则要全力找出出现此情况的条件；(4)在“力学问题”中，主要应用牛顿运动定律结合运动学公式、动能定理、动量定理和动量守恒定律等规律来处理；(5)对于带电体的复杂运动可通过运动合成的观点将其分解为正交的两个较为简单的运动来处理。
带电粒子在电磁场中运动问题可以分为以下几类：
（1）带电粒子在复合场中的直线运动：自由的带电粒子（无轨道约束）在匀强电场、匀强磁场和重力场中作直线运动应是匀速直线运动，除非运动方向沿匀强磁场方向而粒子不受洛仑兹力。这是因为重力和电场粒都是恒力，若它们的合力不能与洛仑兹力平衡，则带电粒子速度的大小和方向将会发生改变，就不能作直线运动。
（2）近代物理的几个实验：速度选择器、磁流体发电机、霍尔效应、磁强计、电磁流量计。最基本的最典型的应是速度选择器。
（3）带电粒子在复合场中有轨道约束下的运动：这种在轨道约束下带电粒子的运动，除了受弹力和摩擦力的作用。还会受到轨道的重力电场力和洛仑兹力外，此时，带电粒子运动中加速度、速度的变化情形可根据这些力的性质用力学知识加以分析、讨论。
（4）带电粒子在复合场中的曲线运动。除非典型的运动外，这类问题变化多端可优先考虑用能量的观点（动能定理）动量的观点来分析处理。具体举例如下：
［例1］何为速度选择器，其工作原理如何，并列举几个物理模型与速度选择器相似的应用实例。
【解析】如图所示，带电粒子垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场的复合场空间，所受电场力和洛仑兹力方向相反，大小相等。
即Eq＝Bqv 所以 ①
凡是符合①式的粒子顺利通过场区从O2孔出射，凡是不符合①式的粒子均不能从O2孔出射，即将速度的粒子选中。
类似的还有质谱仪：如图所示，经速度选择器选中的速度相等、质量不等的粒子经180°磁场偏转后由于半径的不等而区分开。
磁流体发电机：如图所示，等离子喷入磁场区域，磁场区域中有两块金属板a和b，正、负离子在洛仑兹力作用下发生上下偏转而聚集到a、b板产生电势差，最大电势差可达Bdv（B为磁感应强度，d为两板间距，v为喷射速度）。
霍尔效应：如图所示，厚度为h、宽度为d的导体板放在垂直于磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流流过导体板时，在导体板上下侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应（k为霍尔系数）。
电磁流量计：如图所示，电磁流量计是用来测定导电液体在导管中流动时流量的仪器，设导管直径为d，用非磁性材料组成，磁感应强度为B，a、b间测出电势差为U，则流量：

【点评】上述几个应用实例，表面形式各不相同，但本质上均利用了磁场力和电场力平衡的知识来解，物理模型基本类似，应归类总结、复习。

［例2］如图所示，在相互垂直的水平匀强电场和水平匀强磁场中，有一竖直固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为q,P与杆间的动摩擦因数为μ，电场强度为E，磁感应强度为B，小球由静止起开始下滑设电场、磁场区域足够大，杆足够长，求：
（1）当下滑加速度为最大加速度一半时的速度.
（2）当下滑速度为最大下滑速度一半时的加速度.
【解析】：因电场力方向与洛伦兹力方向相反，小球先做加速度逐渐增加的加速运动，当加速度达到最大后，又做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大.因此，加速度达到最大之前，加速度可能取最大值的一半，加速度达到最大值后，一定有某一时刻加速度为最大加速度的一半.小球速度（达到最大值前）始终在增大，一定只有某一时刻速度为最大速度的一半，要研究这一时刻是在加速度最大之前还是之后.
（1）小球刚开始下滑时速度较小，Bqv＜Ｅq受力分析如图4所示，由牛顿第二定律得：

mg-μ（Eq-Bqv）=ma ①
当Bqv=Eq时
a达最大为am＝g
随v的增大，Bqv＞Eq，小球受力如图5所示.
则：mg-μ（Bqv-Eq）=ma ②
将a＝,am＝g分别代入①式和②式
解得在a达到am之前，
当a＝g时，速度为
v1＝
当a达到am后，当a＝g时，速度为v2＝，其中v1存在是有条件的，只有mg≤2Ｅqμ时，在a增加阶段才有a＝g可能.
（2）在a达到am后，随着v增大，a减小，当a＝0时v＝vm，由②式可解得
vm＝.
设在a达am之前有v＝，则由①式解得此时加速度为a＝g＋，
因mg＞Eqμ，故a＞g，这与题设相矛盾，说明在a＝am之前不可能有v=.
显然a＜g，符合题意.
将v=vm代入②式解得a=.
点评：不能沿正确的路径推理辨析各物理量隐含的制约关系，据牛顿运动定律列方程.。
［例3］如图所示，一平行板电容器间的水平匀强电场中，用丝线在固定O点悬挂一个质量为1g的带电小球，静止在竖直偏左30°角的OA位置，现把小球提到B点使线水平伸直，然后放开，让小球绕O点摆动，求：
（1）小球摆到最低点时线上的拉力；
（2）小球摆过最低点后还能向右摆动的角度。（g取10m/s2）
【解析】由题可知小球带负电，由小球静止于A点可知小球受向下mg，向左Eq，沿丝线拉力T，由平衡条件可知：
Eq＝mgtan30°＝ ①
对小球由B经A到C的过程应用动能定理：
mgl－Eql＝－0 ②
对小球在C处竖直方向有
T－mg＝ ③
由①②③得：
N
设小球还能向右摆α角至D点，对小球由B经A、C到D的过程应用动能定理：
mglcosα－Eql（1＋sinα）＝0 ④
由①④得

【点评】本题为典型的重力场和匀强电场组成的复合场问题。对该非匀速圆周运动过程，机械能守恒不再适用，动能定理为首选解法。对其中某一位置的法线方向，可使用动力学向心力公式解答。如本题所示的复合场仍为匀强场，也可直接采用合场的办法来求解第（2）问。OA即为合场方向，B与D对OA左右对称，所以∠AOD＝60°，∠COD＝30°。若本题修改后∠AOB>90°，则丝线还会有松弛过程，还需考虑丝线张紧瞬间法向速度的损失问题。

［例4］如图（a）为一种获得高能粒子的装置，环形区域内存在垂直纸面向外，大小可调节的匀强磁场，质量为m，电量为＋q的粒子在环中做半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为＋U，B板电势仍保持为零，粒子在两板之间电场中得到加速，每当粒子离开B板时，A板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。
（1）设t＝0时粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并绕行第一圈，求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能En。
（2）为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时的磁感应强度Bn。
（3）求粒子绕行n圈所需的总时间tn。（设极板间距远小于R）
（4）在（b）图中画出A极板电势u与时间t的关系（从t＝0起画到粒子第四次离开B板时即可）。
（5）在粒子绕行的整个过程中，A板电势是否可始终保持为＋U？为什么？
【解析】（1）Em＝nqU
（2）

（3）绕行第n圈需时
则
（4）如图所示。
（5）不可以。因为这样粒子在A、B之间飞行时电场力对其做功＋qU使之加速，在A、B之外飞行时电场又对其做功－qU使之减速，粒子绕行一周，电场对其做的总功为零，能量不会增大。
【点评】在（4）中由于绕第n圈时的周期，由Bn越来越大，因而Tn也越来越小，这样在图中t1、t2、t3的相互间距要越来越小。粒子每次通过AB板间的时间也要随粒子不断加速而越来越短，因此图中等幅脉冲要越来越窄。
在（5）中若粒子穿过AB板间后A板电势不消失，正离子继续从B向A做圆周运动时，是从低电势向高电势运动，电场力做负功，从B到A，做功为－qU，这样粒子绕行一周，电场对其做的功为零，能量也就不会变大。

习题巩固：
1．一带电液滴在如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场中运动。已知电场强度为E，竖直向下，磁感应强度为B，垂直纸面向内。此液滴在垂直于磁场的竖直平面内做匀速圆周运动，轨道半径为R。问：
（1）液滴运动速率多大？方向如何？
（2）若液滴运动到最低点A时分裂成完全相同的两个液滴，其中一个在原运行方向上做匀速圆周运动，半径变为3R，圆周最低点也是A，则另一液滴将如何运动？
【答案】（1），顺时针方向；（2）做顺时针方向的匀速圆周运动，A点为其轨道的最高点，轨道半径为R。
2．如图所示，半径为R的光滑绝缘竖直环上，套有一电量为q的带正电的小球，在水平正交的匀强电场和匀强磁场中。已知小球所受电场力与重力大小相等，磁场的磁感应强度为B。
（1）在环顶端处无初速度释放小球，小球运动过程中所受的最大磁场力；
（2）若要小球能在竖直圆环上做完整的圆周运动，在顶端释放时的初速度必须满足什么条件？
【答案】（1）；（2）
3．如图所示，一平行板电容器的两极板MN通过变阻器R与电源E相连，在距N极较远处，有一磁感应强度B为0.1T的匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁场边界P与N平行，不考虑重力场。
（1）当极板间的电压为45V时，一质量为1.0×10－12kg、电量为1.0×10－8C的点电荷q，从M板由静止开始加速，并从N板上的小孔C射出，经金属屏蔽管G进入磁场。若要q经磁场后从N板上的小孔D射回电容器内，则C、D间的距离应是多少？当q回到M板时的速度是多少？
（2）若磁场区域内放置另一带负电的点电荷Q，调节极板间的电压，再使q从M板出发经C孔和G管进入磁场后，在磁场区域内仍沿（1）小题中运动轨迹运动，则：点电荷Q应放在哪里？变阻器R的滑键应向哪边移动？为什么？
【答案】（1）0.6m，0；（2）G管右端下方0.3m处，右移（提供的向心力变大，必须使速度变大）
4．如图所示，PQ为一块长为L，水平放置的绝缘平板，整个空间存在着水平向左的匀强电场，板的右半部分还存在着垂直纸面向里的有界匀强磁场，一质量为m，带电量为q的物体，从板的左端P由静止开始做匀加速运动，进入磁场后恰能做匀速运动，碰到右端带控制开关K的挡板后被弹回，且电场立即被撤销，物体在磁场中仍做匀速运动，离开磁场后又做运减速运动，最后停在C点，已知PC＝L/4，物体与板之间的动摩擦因数为μ，求：
（1）物体带何种电荷？
（2）物体与板碰撞前后的速度v1和v2分别是多大？
（3）电场强度E和磁感应强度B多大？
【答案】（1）负电；（2），；（3），
5．如图所示，在地面附近，坐标系xOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x<0的空间内还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一个带正电的油滴经图中x轴上的M点，沿着与水平方向成α＝30°角的斜向下直线运动，进入x>0的区域，要使油滴进入x>0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x>0区域加一个匀强电场。若带电油滴做圆周运动通过x轴上的N点，且MO＝ON，求：
（1）油滴运动的速率大小；
（2）在x>0内所加电场的电场强度的大小及方向；
（3）油滴从x轴上的M点开始到达x轴上的N点所用的时间。
【答案】（1）；（2），方向竖直向上；（3）
6．如图所示，在位于竖直平面内的直角坐标系中，第2象限区域内有一沿＋y方向的匀强电场，场强E1＝50N/C，还有一个与x轴相切于Q点的圆形有界匀强磁场，磁感应强度B1＝500T，方向垂直于纸面向里。在x轴的下方区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2＝2.5T，还有一个电场线位于坐标平面内的匀强电场，方向如图所示，今有一个质量m＝1.0×10－5kg，电量q1＝＋2.0×10－6C的带电小球1，从y轴上的P点以初速度v0＝40m/s斜射入第2象限，经过圆形有界磁场时偏转了60°角，恰与x轴上静止于Q点的另一个质量仍为m的带电小球2相碰，小球2的带电量q2＝－6×10－6C，两球相碰后粘合在一起，问：
（1）在第2象限内圆形磁场区的最小半径多大？
（2欲使碰后小球沿直线运动，x轴下方匀强电场的场强E2的大小应为多少？
【答案】（1）0.346m（2）50N/C
7．如图所示，质量为M＝3.0kg的小车静止在光滑的水平面上，小车的上表面AD部分是粗糙的水平面，DC部分是光滑的1/4圆弧面，整个小车由绝缘材料做成，并处于足够大的磁感应强度B＝1.0T的垂直纸面向里的匀强磁场中，今有一个可视为质点、质量m＝1.0kg的金属块，带电量q＝－2.0×10－3C，它以v0＝8m/s的速度冲上小车，当它将要通过D点时，对小车的压力为N＝9.81N。求：（g取9.80m/s2）
（1）求m从A到D的过程中，系统机械能损失多少？
（2）若m通过D点时立即撤去磁场，在这以后小车能获得的最大速度是多大？
【答案】（1）18J；（2）3m/s
8．图为实验用磁流体发电机，两极板间距 d＝ 20cm，磁场的磁感强度 B＝5T．若接入额定功率P＝100W的灯泡，恰好正常发光，且灯泡正常发光时电阻R＝400Ω．不计发电机内阻，求：
（1）等离子体的流速是多大？
（2）若等离子体均为一价离子，每秒钟有多少什么性质的离子打在下极板？
【答案】（1）200m/s；（2）3.1×1018个
9．如图，在某个空间内有一个水平方向的匀强电场，电场强度E＝10v/m，又有一个与电场垂直的水平方向匀强磁场，磁感强度B＝10T。现有一个质量m＝2×10-6kg、带电量q＝2×10-6C的微粒，在这个电场和磁场叠加的空间作匀速直线运动。假如在这个微粒经过某条电场线时突然撤去磁场，那么，当它再次经过同一条电场线时，微粒在电场线方向上移过了多大距离。（ｇ取10m／S2）
【答案】1.39m
10．如图，质量为1g的小环带4×10-4C的正电，套在长直的绝缘杆上，两者间的动摩擦因数μ＝0.2。将杆放入都是水平的互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，杆所在平面与磁场垂直，杆与电场的夹角为37°。若E＝10N／C，B＝0.5T，小环从静止起动。求：
(1)当小环加速度最大时，环的速度和加速度；
(2)当小环的速度最大时，环的速度和加速度。
【答案】（1）52m/s，2.8m/s2；（2）122m/s，0