探究与发现子集的个数有多少.doc

分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A级　基础巩固练
1．若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b、c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　)
A．10个　　　 B．14个
C．15个 D．21个
解析：当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．
答案：A
2．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有(　　)
A．60种 B．100种
C．300种 D．600种
解析：5×5的方阵中，先从中任意取3行，有C＝10(种)方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CCC＝60(种)，故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10×60＝600(种)．
答案：D
3．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．243 B．252
C．261 D．279
解析：0～9能组成的三位数的个数为9×10×10＝900(个)，能组成的无重复数字的三位数个数为9×9×8＝648(个)，故能组成的有重复数字的三位数的个数为900－648＝252(个)，故选B.
答案：B
4．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有(　　)
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．
答案：C
5．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为(　　)

3
4

A.4 B．6
C．9 D．12
解析：如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a.c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.
1
2
a
3
4
b
c
d
9
答案：B
6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24个 B．18个
C．12个 D．6个
解析：当在0,2中选0时，可组成无重复数字的三位奇数A个；当在0,2中选2时，可组成无重复数字的三位奇数有2A个，所以共可组成无重复数字的三位奇数有A＋2A＝18(个)，故选B.
答案：B
7．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有__________种．
解析：若选甲、乙两人，则有甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．
∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．
答案：4
8．一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有__________种(用数字作答)．
解析：从左到右9个位子中，甲只能坐4、5、6三个位子．当甲位于第5个位子时，乙、丙只能在2、3或7、8中的一个位子上；当甲位于第4个位子时，乙、丙肯定有一个位于2，另一个位于6、7、8中的一个位子上；当甲位于第6个位子时，乙、丙肯定有一个位于8，另一个位于2、3、4中的一个位子上，故共有4×2＋3×2＋3×2＝20(种)．
答案：20
9．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________．(用数字作答)
解析：
①
②
③
④
⑤
⑥
若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种．若1在②、③、④、⑤号位，2的排法有2种，方法数各8种，故有4＋4＋8＋8＋8＋8＝40(个)．
答案：40
10．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？
解析：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个．
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．
(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．
∴应有1＋3＝4(种)．
B级　能力提升练
11．下表是高考第一批录取的一份志愿表．现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果要将表格填满且规定：学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你的不同的填写方法种数为(　　)
志愿
学校
专业
第一志愿
A
第1专业　第2专业
第二志愿
B
第1专业　第2专业
第三志愿
C
第1专业　第2专业
A.43·(A)3 B．43·(C)3
C．A·(C)3 D．A·(A)3
解析：第一步，先填写志愿学校，三个志愿学校的填写方法数是A；第二步，再填写对应志愿学校的专业，各个对应学校专业的填写方法数都是A，故专业填写方法数是AAA.根据分步乘法计数原理，共有填写方法数A·(A)3.
答案：D
12．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x，y，z)，若x＋y＋z是3的倍数，则满足条件的点的个数为__________．
解析：可将0,1，…，9分为3类．
A类：3的倍数，0,3,6,9，共4个；
B类：3的倍数余1,1,4,7，共3个；
C类：3的倍数余2,2,5,8，共3个；
满足x＋y＋z为3的倍数，有以下四类：
①A类中取3个有A个；
②B类中取3个有A个；
③C类中取3个有A个；
④在AB、C类中各取1个，有CCCA个．
综上满足条件的点有，A＋A＋A＋CCCA＝252(个)．
答案：252
13．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？

解析：根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种)不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E.根据分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18(种)不同方法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．
14．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？
(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？
解析：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．
(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．
(3)分为如下四类：
第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；
第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C·C＝12种方法；
第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C＝6种方法；
第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C·C＝12种方法．
所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．
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