按容许应力直接求钢筋面积的新法.doc

矩形截面按容许应力法直接求算钢筋面积之新法
前 言
铁路桥规规定按许应力方法计算钢筋混凝土。该方法原则明确，计算公式表述简单。但是按传统的容许应力方法进行截面设计，其过程繁复。即便是简单的矩形截面也要试算多次，才能得出钢筋面积来。当混凝土截面及混凝土等级比较合理时，设计的主要目标就是求出合理的配筋，要求配筋面积既安全又要经济。但是这既安全有合理的配筋面积，一般是要经过多次试算才能求得的。
容许应力法，为求得偏心力作用下的所需配筋，走的是“假定面积，检算应力”的途径。要先设定某一钢筋面积，再检算其钢筋应力是否合适。而要算应力就要先求中性轴位置，而这中性轴的位置也是要经过试算才能求出的。但这第一次假定的钢筋面积，其检算结果往往并不一定是所期待的。于是就要调整面积进行第二次试算，如再不合适还要继续假定和试算，直到满意为止。在设计过程中，设定配筋面积及其所对应的中性轴位置，两方面都要进行多次试算，这就显得繁复了。虽然使用电脑可以使进程加速，但这种解题求钢筋面积的思路是不尽合理的。
矩形截面系列的直接求算钢筋面积方法，能使计算过程简化，计算精准。它既适合于手算亦适用于电算。尤其对于学生手算做习题，则更有助于对课程的理解和便于得出理想结果。
本方法最初是以论文形式发表于期刊的。由于过分侧重于创见部分，致过于片面并有所疏漏，它只能适用于偏心力作用在截面以外的情况。论文所欠缺的部分虽在一些资料中有所表述，但它仍是从“假定、检算”方面着眼的。为了便于实用，现将该方法完整地介绍给铁路桥梁专业的工作者和在读学子。本文补充了非钢筋控制设计的两种情况，并写出了解题步骤。同样为了便于应用，将原论文的符号作了相应调整，一并列出。此外为了便于读者阅读，作者将刊物未曾发表的公式推导过程，作为附件附后。
一、基本计算公式
下图为矩形截面偏心受压受力图形，这是人们所熟悉的。但我们不是假定钢筋面积，求中性轴的高度，再检算应力。而是根据不同情况，求出对应的中性轴，并由其确定所需要的钢筋面积。

构成本方法的第一种情况，是控制受拉钢筋应力，求与其对应的钢筋面积。意思是将受拉钢筋应力控制在接近或等于受拉钢筋的容许应力的大小，求此时的混凝土应力。如不超出其容许应力，即可根据静力平衡求出需要的最少钢筋面积。
构成本方法的第二种情况，是控制混凝土应力，求所需要的钢筋面积。控制混凝土应力使其接近而不超出其容许应力，求出与其对应的钢筋应力，最后算出所需钢筋面积。此方法适用于按第一种方法求出的混凝土应力超出其容许值时。控制较高的钢筋应力，使混凝土应力超出。为解决此问题，应反过来控制混凝土应力。降低了混凝土应力，其所对应的受拉钢筋应力，也有所降低。但由于由荷载产生的偏心压力及偏心力矩不变，受拉钢筋应力低了，自然导致需要的钢筋面积也就增加了。
构成本方法的第三种情况，是寻求在偏心力作用下，所形成的必需的最小受压区高度。当偏心力作用在截面内时，它是受拉区钢筋面积为零时的受压区高度。此时受压区合力中心与偏心力的作用点重合，也就是受压区合力中心距受拉钢筋合力中心的距离与偏心力的偏距相等，即。只有时才能保证受拉区钢筋出现拉力，出现拉力这是我们设计的前提，也是必须要保证的。当偏心力作用在截面以外时，必然有。只有当偏心力作用在截面内时，才成为要考虑并需要解决的问题。对应的受压区高度记为。不管、数值为何，只要最大，就应按照由静力平衡求计算配筋。如图示

三种情况的共同点也是关键点，就要先求出所对应的受压区高度。有了受压区高度才能继续后面的应力面积计算。而后者是比较方便的，由截面的静力平衡条件即可求出需要的应力面积数据。
这里要强调一下，本方法所求的是在不同情况下配筋最少或接近配筋最少的配筋量。实际配筋可能大于这个要求的最小值。多配置钢筋，是偏于安全的。
实际配筋数量偏大是由多方面因素形成的。其一是，实际配筋是由钢筋直径规格和整根数确定，实配的钢筋面积不可能与计算的最小配筋完全相等。其二，同一构件可能受多种荷载组合的作用，实际所配置的钢筋量，应是配筋量最大的那个组合所决定。此外，同一构件各部位的配筋量需求也不一样，实际配筋要由配筋的总体布置来确定，而不能微调。
以下将各种情况需要找的受压区计算公式，分别列出：
（1） 由控制受拉钢筋应力求钢筋面积
受拉钢筋布置往往不止一排，内外排的应力是不一样大小的，我们所控制的是受拉钢筋合力中心处的应力。为此将受拉钢筋合力中心处的应力表示为，因此将控制的合力中心处的应力写为。外排钢筋的应力记为，不再笼统写了。
有了后，决定受压区高度的就是对受拉钢筋合力中心的偏心力矩的大小了，故以表示此受压区高度。按下式求算：

提醒一下，上式中之为考虑纵向挠曲之后的对受拉钢筋合力中心的偏距。
由受压区高度即可求出受压区混凝土的最大应力

当偏心力作用在截面以外时，在的条件下，即可按截面的静力平衡关系求算需要的最小的受拉钢筋面积。当实配钢筋面积大于此最小钢筋面积时，混凝土和钢筋的应力均会相应降低少许，因而是安全的。
如果，则要转为控制混凝土最大应力进行计算。
（2） 由控制混凝土应力求钢筋面积
控制混凝土的最大应力接近或等于混凝土的容许应力，将能使受压区减小到最低限度。这就加大了受拉钢筋合力的力臂，从而较充分地发挥了钢筋的强度，减小了所需的钢筋面积。对于混凝土的控制应力，可以直接用混凝土容许应力符号表示之。控制受压区混凝土应力时的受压区高度以表示之，可用下式估算。

上式是根据静力平衡关系到处的，其中近似地利用替代了的比例关系。为受压区临界高度。
当出现的情况时，一定有，此时是可能的最小高度。这种替代使的结果稍偏大，因而偏于安全。顺便补充一下，在偏心力作用在截面以外时，当时，一定会有。
亦可在上计算式基础上，用迭代法求算。如下式：

当时，即将用为。这将使结果更准确。
（3） 由偏心距控制的最小钢筋面积

本公式同样是根据静力平衡求得。为简化公式是按来推导的，但其它处的仍按实际值计算。这种处理偏于安全。式中为受压钢筋百分率。同样亦可用迭代法求：

当时，即将用为。如需用此结果计算配筋，将有，当采用的受压区高度大于计算出的时，配筋将急剧增加，如下图示意。在设计中我们只要根据构造要求配筋即可。

比较、、，取其中最大者，进行最少配筋的计算。
（4）选择控制方式的路线
整理三方面的叙述，现将大偏心选择控制方式的路线，归纳如下图。

二、计算步骤
合理的计算步骤能减少计算工作量、减少或避免返工。
1、考虑挠度增大影响，计算挠度增大系数，并将结果并入到计算用偏距中。
2、检算截面的最大承载能力
大偏心截面能承担的最大偏心力矩，理论上，要求，要求最大的轴向力。、分别为受压区材料对受压区高度线的换算惯性矩和静力矩。两者要同时满足，否则要提高混凝土等级和（或）修改混凝土截面。在实际结构上是不愿把承载力，100%用足的。
3、判断是否是大偏心
对于既不属于小偏心亦不属于大偏心的情况，按最小的大偏心处理。即将的情况，按处理。
4、选择计算路线，并计算出结果。

三、几点注意的细节
1、、的初次取值
在设计截面时，受拉钢筋面积为未知，故其面积重心亦为未知。因此在计算前必须初步设定值，值初定，相应值也就确定了。设定的合适与否将决定计算结果的准确程度。因此建议：
（1） 值可参照同类结构参考图拟定。
（2） 值大小与结构所采用的钢筋保护层大小有关。保护层一般规定不小
于3，当截面较低时或根据工作环境可做相应调整。
（3）无参考资料时需根据截面高度、合力作用点位置及偏心弯矩大小诸因素拟定。由于假定的控制应力的数值与值的大小是相关的。设保护层为3时，建议①当时，或截面高度较低时（如），或者截面较高而合力N作用点在截面内时，一般可用，。②当截面较高如或更高）且合力作用点在截面外时，可假定，，值随增大而提高。
建议①是按单层及三根一组的双层拟定的；建议②是按多层、包括两层三根一组的配筋方式拟定的。以上是在无资料时的建议初始采用值，但一切应当以实际计算结果为准；如计算结果与假定相差较大，应做相应调整；相差不大则可不再改动，只将配筋加大一些即可。
当可确认计算结果就是单排钢筋时，将提高到亦无不可。
2、外排钢筋应力
（1）计算假定和实际配筋都是单排或三根一组的双排配筋，可不进行外排钢筋应力验算。
（2）多层配筋验算
钢筋控制应力一般都小于规范规定的钢筋容许应力，目的就是要使外排钢筋应力不超出容许值。但是对于多层配筋来说，假定的、值并不一定永是合适，为了保证安全，一般还是验算一下外排钢筋应力为好。外排钢筋应力以符号表示。
检算外排受拉钢筋应力之前，应先按计算所需钢筋面积进行初步布置，找出实际的钢筋面积重心位置然后进行计算，参见附图。
如果初配筋的大于，则表明所留出的高度范围内已经布置不下钢筋了，应当加大到。由于钢筋重心的位置调整，使得降低，而使钢筋控应力提高。因此在检算应力时应顾及此因素。此时外排钢筋应力应计为：

如果出配筋的等于或小于，按理亦应按上式计算。而亦可简单地按下式计算：

此时，一般外排钢筋应力不会超出。
不论那种情况，如果外排受拉钢筋应力超出的话，理论上是应降低钢筋控制应力、同时变为进行重算。重算一次即可得到满意结果。而在实际上如果应力超出不多，如小于5%，可在配筋时按比例增加面积即可，无需重算。
（3） 非受拉钢筋应力控制设计的情况，可进行有条件的验算
非受拉钢筋应力控制设计的情况，验算的主题稍有调整，验算的主要目标是在假定的值范围内，所需钢筋是否能摆的下，如果布置不开，则要调整之。至于外排的钢筋应力，只有在控制钢筋应力接近容许应力时才有实际意义。当混凝土应力控制设计时，如果有，则不必检算外排受拉钢筋应力。当按进行设计计算时，一般无需检算外排受拉钢筋应力，除非。
（4） 用配筋面积重心当作受拉钢筋合力中心在设计计算结果误差不大。
（5）如果欲计算裂缝开展，可按假定面积求算应力的方法计算外排钢筋应力。由于已知受压区高度的近似值，找出其确切值的工作是比较简单的。当然亦可直接利用本方法值计算结果，其限制条件是，其结果不能是过分靠近允许值的边缘；因为计算误差的累积很可能导致裂缝宽度超出容许值。
四、本方法可以应用于受弯构件。它相当于偏心力作用在截面外无限远处，即
对于截面的复核，由于钢筋配置为已知，且检算的目的只是判断承载力够不够。因此用直接求钢筋面积的方法计算就相对简单了。但此时用传统的检算应力的方法也不费事。
此外对于对称配筋要想直接求出所需面积，计算过程也是比较繁复的。对于组合截面，如空心圆端截面，要想直接求出需要的钢筋面积也是比较困难的。如果说能找出一条路来，那也是把复杂截面简化而得到的结果，是近似的。在这种情况下应用传统方法也还是有其一定适用性的。

附录：公式推导过程
1矩形双筋大偏心受压构件计算公式的推求
大偏心受压构件有两种情况，一种情况是受压区混凝土应力控制设计，另一种是受拉钢筋应力控制设计。前者比较好处里，而后者就是那需要解一元三次方程式求中性轴的情况了。本文以后的论述，如果没有特殊说明，则都是针对受拉钢筋应力控制设计情况而言的。

大偏心受拉构件的受力后的应力图形如附图所示。

附 图 1

根据应力图形可以写出下列力矩平衡关系式:
(1)
(2)
(3)
式中、分别代表受拉钢筋面积和受压钢筋面积；、分别为受拉和受压钢筋的应力；为混凝土最大应力；为偏心压力，为截面受压区高度；为钢筋的弹性模量与混凝土变形模量之比，其它代表意义如图示。
设计时，令，并引入式（4）～（7）关系，列出了以受压区相对高度为函数的一元三次方程式（８）：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （５）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （６）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（７）
　　　　（８）
引入式（4）～（7）以及用为函数，其目的就是为了使求受压区高度的问题一般化，便于分析讨论，从而找到能比较通用的一般公式。
式（8）是标准的实系数一元三次方程式，解一元三次方程的方法在16世纪上半叶经过多位数学家的努力已取得了巨大的进展。1545年，卡尔丹出版的《大法》一书，首次公布了三次方程的解法。但卡尔丹并没有解决好求根过程中的复数问题。为什么尽管方程的根是实数，但按卡尔丹方法，在计算过程中却必须求复数的立方根？这被称之为“不可约情形”。 卡尔丹对此并不理解，感到困惑，并称之为“诡辩量”，认为要算出这样的结果要受良心责备的。为使“不可约情形”在计算中不计算复数，韦达创立了用三角学方法解三次方程的方法。其后，吉拉德在一本论三次方程的著作中，提出了利用和的关系式方法。目前三角学方法较多介绍的是用余弦的三倍角关系的方法，其原理与用正弦的方法是一致的。对三次方程解法的研究，直到1732年在欧拉的工作中才得以完成。
目前各数学手册中，简单一些的在一元三次方程的解法中，只介绍卡尔丹原来的公式；全面一点的则既有卡尔丹公式又有用三角函数全面的解法；比较简明实用的，则在卡尔丹公式的不可约情况中介绍了三角函数法。H . J 巴茨 的《数学公式手册》（科学出版社，1987年版）即是采用了这种方式。他的这种表述，层次少、又在“不可约情形”避免了复数运算，是简单明瞭的。
本文推荐的方法实为上述两种方法的组合，考虑它们之间的因缘关系以及为了方便本文仍统称卡尔丹方法。须将其改写成卡尔丹公式的形式才能求解。若标准形式写为：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （９）
卡尔丹公式表示为：
　　　　　　　　　　　　　　 　 　（10）
则卡尔丹式中、、与标准一元三次方程式各系数间的关系如下：
（11）
（12）
（13）
按照式（9）～（12）的关系，将式（8）式改写为卡尔丹公式的形式，得到式（14

(14)
解卡尔丹公式，需要先计算⊿值。⊿值按式（15）计算。⊿与0之间的关系式，称为卡尔丹公式的判别式。不同的判别式有不同的求根方法。如果判别式为⊿＞0，则有一个实根和两个虚根，如⊿＝0，则有一个实根和两个共轭虚根，如⊿＜0，则有三个实根。
（15）
对于式（14）则有：
（16）
式（16）中，很难直接比较前后两项的大小, 为了比较清楚确切，现把⊿的前后两项展开，同类项归并后有:
（16a）
很明显, 恒有以及恒有, 这使式（16a）第一项、第二项和第三项恒均为负值;第四项本身就是负值。由于式（16a）中各项均为负值，故可认为⊿恒为负值，即有 ⊿＜0。因此方程应按第三种方法求根。按此方法求根，一般按三角函数方法。
按卡尔丹公式，第三种情况的三个根可分别按下式求得：
（17）
（18）
（19）
（20）
按式( 17 )～（20）可写出式（14）的三个根的计算式为:
(21)
(22)
(23)
24)
将上式改用受压区相对高度表达则有下列形式，但余弦求算方法不受影响:
（25）
（26）
（27）
究竟哪个根是所需要的，还需要进一步分析判断：
首先分析余弦。由于其分子、分母均为正值，故可认为一定在第一象限，最简单的情况是。由此可判定有。由于 ，知道角只变动在～之间，该角一定在第四象限。角的实际度数则变动在～之间。概括地来说，三个计算角不是在第一象限就在第四象限，故它们的余弦一定均为正值。虽都为正值，但其数值变化的范围却各不交叉或重合, 变动在与1之间。变动在～之间，而的值在0.5～0之间。这不同的数值将影响着计算结果，这将在后面的分析中显示其影响。
至于 ，因其根号内部分，是一个恒大于1的数，故其整体是一个＞2的数。对此，我们首先用其极限最小值2来计算分析。分别以最小值2乘以对应的余弦则有下示结果：
1+2(0.8667～1)=2.732～3
1－2(0.8667～0.5)=－0.732～－0
1－2(0.5～0)＝0～1
很显然，受压区相对高度不可能大于1，亦不可能为负值，因此与 都是不符合方程建立条件的。故它不是真正的受压区相对高度。因此 才是所要求的。
以下再分析中根号内前两项变大后的影响。当是一个相当大的正值时，这将使(x/ho)1变成一个较2.732～3更大的正值，也会使(x/ho)2变成一个较－（0.732～1）更小的负值。因此它们就更不是所要求的根了。当计算时，如果变大则可使计算角度变大、余弦值变小，但亦使 变大。综合结果是使 变大。当其大到一定限值之后，虽然还有小于1，但此时已是外荷载产生的内力超出了截面的承载能力，或者表明这种情况已不在受拉钢筋控制设计的范围。此时，应改变计算办法或调整受压钢筋面积或重新假定构件截面。
是否选择选择按受拉钢筋强度控制设计，应先进行判断。保证受拉钢筋控制的必要条件是混凝土受压区高度不得大于“混凝土与受拉钢筋同时达到容许应力时的”受压区高度，如式（28）所示。
（28）
为此必须保证有足够大的偏心距（对此本文不再赘述）。其次，偏心力距不能过大，以保证混凝土不先于钢筋而破坏。以下，本文对此偏心力矩的限值加以讨论。
按钢筋受力控制设计，要求混凝土最大应力一定不要大于其容许值。在的条件下。偏心力力矩应不超出混凝土及钢筋同时都达到容许应力时的截面承载能力，应满足下式要求：
（29）
令,引入Ao , 之后，式（29）的要求可改写为：
（30）
式（30）是式（29）内涵的另外一种表现形式，它将直接影响值大小的加以限制。如满足式（30）的要求，不仅能保证＜1,而且能保证。这就是说当满足式（30）的条件时，才是所要求的解。
由于只有带下角标3的 能求得正确答案，以后计算时则去掉的下角标，而只用 表示了。如果不能满足式（30）的要求，则要求改变设计计算方法，或加大受压钢筋面积，或加大截面积。
3 矩形截面的表达式
既然问题已经分析解决了，就不一定总用相对关系表示了。对具体的截面则可写成如下表达式以便于计算：

(31)
(32)
一般化表示的推求
将式（31）改写，使其恢复原来的某些截面特性，得式（32）（33）：
（32）
（33）
从式中可以看出：
就是受压钢筋面积对受拉钢筋重心的静力矩，可以用表示。很显然就是受压钢筋换算面积对受拉钢筋重心的静力矩了。就是受压钢筋换算面积对受拉钢筋重心的惯性矩了，以表示。同理 分别是矩形计算断面对受拉钢筋重心的静力矩和惯性矩了，分别以 表示。从分子分母的对应关系，分母是惯性矩，其分子的实际内涵是受压钢筋对受拉钢筋重心轴的惯性矩，不是静力矩乘以，由于在建立力矩平衡关系式时，就忽略了受压钢筋对自身重心的惯性矩，自然在最后的表达式中也就不会再出现了。这样处理，对钢筋没什么关系，因为数值较小。可以后在计算其它类型的截面时是不能忽视的。根据这种理解，可以将式（32）（33）分别写为：
（34）

3、T形截面的表达式。

附 图 2
T形截面的构成可简可繁，翼缘可以带有坡度或加腋。计算时应将T形截面划为若干分区，分区进行截面性质的计算。应以为基本区，它不容再分割，也不列入本计算方法的分区编号。分区数目因截面形状而有不同，应多以水平线作分区线以便于计算。截面可配受压钢筋，当求算受拉钢筋面积时受压钢筋面积为已知。当计算配筋时以偏心压力对受拉钢筋重心的力矩做为计算力矩（弯矩）。当按受拉钢筋控制进行设计时，受拉钢筋应力为已知。它应等于或略小于规范规定的容许值；因为外层钢筋应力是稍大于钢筋重心处应力的。设计计算时，以表示。
它较矩形截面多的是受压翼缘，比照受压钢筋在求受压区高度公式中的位置与形式，则对T形截面可写出一般表达式如下：
（36）
（37）
分别为混凝土任意分区断面、受压钢筋和混凝土基本断面对0－0轴的静力矩。分别为混凝土任意分区、受压钢筋和基本混凝土断面对0-0 轴的惯性矩。其它符号意义同前。
4、讨论
式（36）、（37）不仅适用于T形截面，亦适用于矩形、箱形截面，是本计算方法的一般表达式。
受弯构件与大偏心受拉构件。在受拉钢筋控制设计的情况下，都可应用上述求中性轴的办法，计算用的内力矩，对大偏心受拉时仍是N对受拉钢筋中心的力矩，它较N对构件轴心的偏心力矩要小，这是与偏心受压时不同之处。这里就不多占篇幅了。
这里讨论与推导的是由偏心力矩确定的中性轴高度。本方法亦仅是用于偏心力作用在截面以外的情况，而且是钢筋应力控制。至于受拉钢筋达不到容许应力时的情况，已在本文的正文中述及，有关计算公式推导也比较简单，这里就不介绍了。
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