§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角.doc

高二理科数学
导学案
班别： _____________

学号： _____________

姓名： ___________

§3.2立体几何中的向量方法（4）
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1．理解直线与平面所成角的概念．
2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法．
二、问题导学
问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？
问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？
设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，
则〈a，b〉与θ ，cosθ＝ 。
问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？
如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，
n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，
则sinφ＝ 。
三、例题探究
例1．如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、 的中点．求异面直线MN与所成的角．

变式：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 (　　)
A．30° 　 B．45° 　 　
C．60° 　 D．90°

例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，
求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．

变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.

四、练一练（时间：5分钟）
1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，
直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 (　　)
A．cosθ＝ B．cosθ＝ C．sinθ＝ D．sinθ＝
2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，
则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长相等，则AC1与面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为 (　　) A.　　　　B. C. D.
5．正四棱锥S—ABCD，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角为 ．
【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法（4）
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1．理解直线与平面所成角的概念．
2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法．
用向量方法求空间中的角
角的分类
向量求法
范围
异面直线
所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，
则cosθ＝ |cos〈a，b〉| ＝ .
(0，]
直线与平面
所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，
平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos |〈a，n〉
＝ .
[0，]
二面角
设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β的
法向量为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n1〉|＝.
[0，π]
1．求异面直线所成的角
设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，∴cosθ＝.
2．求直线与平面所成的角
如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝.

二、问题导学
问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？
问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？
设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，
则〈a，b〉与θ ，cosθ＝ 。
问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？
如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，
n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，
则sinφ＝ 。

三、例题探究
例1．如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、 的中点．求异面直线MN与所成的角．

【答案】　60°

变式：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 (　　)
A．30° 　 B．45° 　 　
C．60° 　 D．90°

[答案]　D

[解析]　以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，A(0,0,0)，M(0,1，)，Q(，，0)，设P(x,0,1)，
∴＝(0,1，)，＝(－x，，－1)，·＝0×(－x)＋1×＋×(－1)＝0，
∴⊥，∴选D.
[点评] 1．求异面直线所成的角的常用方法是：
(1)作图——证明——计算；
(2)把角的求解转化为向量运算．
2．一般地，若直线AM和点Q固定，点P变动，则直线AM与PQ所成的角为变量，若此角不随P的变化而变化，则只能是AM⊥平面P1P2Q(其中P1、P2是P运动轨迹中的两个点)，故选D.

例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，
求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．

[解析]　(1)取AB中点O，连接CO，A1B ，A1O，
∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正三角形，
∴A1O⊥AB，
∵CA＝CB，∴CO⊥AB，
∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1，
∴AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB，
又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，∴OC⊥平面ABB1A1，∴OC⊥OA1，∴OA，OC，OA1两两相互垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，

由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1，0,0)，则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)，
设n＝(x，y，z)是平面CBB1C1的法向量，
则即可取n＝(，1，－1)，
∴cos〈n〉＝＝－，
∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.

变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.
[解析]　如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)．

∴＝(－2,2,0)，＝(0,2,0)，＝(1,0,1)，
设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由，得，取x＝1，则z＝－1，
∴n＝(1,0，－1)．
∵cos〈，n〉＝＝＝－，
∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.

方法规律总结
用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是①异面直线所成的角θ∈(0，]，故两直线的方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值；②若直线与平面所成的角θ，直线的方向向量和平面的法向量夹角为φ，则其关系为sinθ＝|cosφ|；③若二面角为θ，两平面的法向量夹角为α，则|cosθ|＝|cosα|，需分辨角θ是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出．

四、练一练（时间：5分钟）
1. 若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，
直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 (　　)
A．cosθ＝ B．cosθ＝ C．sinθ＝ D．sinθ＝
[答案] D
2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，
则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
[答案] A
[解析]　如图所示，建立空间直角坐标系，设AB＝4，则D (0,0,0)，B(4,4,0)，E1(4,3,4)，F1(0,1,4)，则= (0,－1,4)，= (0,1,4)．
·＝0×0＋(－1)×1＋4×4＝15，||=，||=，
∵cos〈，〉= ＝=＝，
设与所成的角为θ，则cosθ=||=，
即与所成的角的余弦值为．故选A．
3．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）
A、 B、 C、 D、
[答案] B
[解析] 取BC的中点D，连结DC1，
可以证明AD^平面BB1C1C，
则ÐAC1D是AC1与平面BB1C1C所成的角，
cosÐAC1D，即AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为，故选B.

4．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为 (　　)
A.　　　　B. C. D.
[答案] C
[解析]　解法一：连结A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1，连结BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求，通过计算得sin∠C1BO＝，故选C.

解法二：以A为原点，AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)、B1(4,0,2)、D(0,4,0)、D1(0,4,2)、C1(4,4,2)，∴＝(0,4,2)＝(－4,4,0)，＝(0,0,2)，
设平面BDD1B1的法向量为n＝(x，y，z)，则
，∴，∴，取x＝1，则n＝(1,1,0)．
设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，〉|＝＝＝.

5．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点S在底面ABCD上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角为 ．
[答案] 30°
[解析] 可利用平面的法向量。

课堂小结：
1．异面直线，的方向向量为a，b，则与所成的角即为a、b所成的夹角或其补角；
2．要求直线与平面所成的角，先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角，然后用计算出结果即可；
3．求角过程中注意定义中角的取值范围，对所得的数量积作相应的调整，注意运用图象.

问题：用空间向量解决立体几何问题的步骤是什么？
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
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