19、微扰法.ppt

第,*,页,第五章晶体中电子能带理论,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,1,近自由电子模型是计算晶体能带的诸多近似方法之一,一、近自由电子模型,晶格周期势场起伏很小（弱周期势），使电子的行为接近自由电子时采用近自由电子近似模型的处理方法：,作为,零级近似,，可用势场的平均值V,0,代替晶格势V（r）,微扰法：,把周期势的起伏V（r）-V,0,作为微扰处理。,Page,2,设由N个原子组成的一维晶格,，基矢为：,一维晶格中电子的薛定谔方程方程为,倒格子基矢为：,将,周期势展成付里叶级数,V（x）:晶格周期势。,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,3,展开系数：V,0,是展开系数中n=0项的系数，它等于势场的平均值，即,由于V(x)是实数，因而级数的系数满足,按照微扰理论，单电子哈密顿量写成如下形式：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,4,其本征能量和零级归一化波函数为,一般取V0等于0。,代表周期势场的起伏，当作微扰项,。可得零级近似,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,5,式中的k在周期性边界条件下只能取,即零级近似是自由电子，故称为自由电子近似。对于更高级次的解，可用微扰理论求得。,在,态中的平均值,。所以,能量的一级修正项等于,二、微扰计算：,按照量子力学的微扰理论，电子的能量可写为：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,6,上式表明晶格微扰项对电子能量的一级修正项为零。,能量的二级修正项等于,其中微扰矩阵元:,计算如下：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,7,按原胞划分写成,对不同原胞引入积分变换：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,8,上式加式内各项均为1，因此,两种情况：,加式内各项可用几何级数计算：,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,9,而,上式分子为,分母不为零，且,为V（x）付里叶展开系数。因此有,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,10,若只考虑到电子能量的二级修正项，则能量为,对于一般的k值，,由于周期势很弱，,很小，,与,相差不大，周期势场的效应可以忽略。但当,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,11,二级修正项发散，,趋于无穷，简单的微扰展开（13）式不再能用，,需改用简并微扰的方法。,与（14）式相对应是,这正是发生布拉格反射的劳厄条件:,(入射波矢k在倒格矢Kh方向上的投影应为Kh长度的一半，即k的端点应落在Kh的垂直平分面上),（两边取平方）,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,12,相应的一级近似波函数为,大括号内是具有晶格平移周期性的周期函数,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,Page,13,上式表明,：,考虑弱周期势的微扰，显示了波函数从自由电子的平面波向布洛赫波的过渡。,（,17,）式第一部分代表波矢,k,的前进平面波；第二部分代表电,子在行进过程中受到周期势场的散射作用所产生的散射波。,是小量，第二部分的贡献很小，,波函数主要由前进,由于,平面波决定,，此时，电子的能量主部是,即电子的行为,与自由电子相近。,5.2 一维晶格中的近自由电子近似微扰法,本节结束,Page,14,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,由于在零级近似解中，能量E是k的二次函数，,即,这两个状态能量相等，属于简并态,的情况，必须用简并态微扰理论来讨论。,零级近似的波函数是相互简并的零级波函数的线性组合,。,可以写成,上式第一项为前进波，第二项为反射波，两者波长相等。将上式代入薛定谔方程,Page,15,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,上式分别左乘,和,并对x积分，由于,Page,16,得到两个线性方程组,和,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,17,方程组有非零解的条件,由此解得能量本征值为,把能量本征值分别代入（5）式，可求得系数A和B，即可求出对应能量本征值的本征函数。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,18,在布里渊区界面附近,零级近似的波函数,（1）式仍然成立,故（7）式变为,T,n,代表自由电子在布里渊区边界处的动能。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,19,当,即,在布里渊区界面上，有,下面分三种情况讨论布里渊区附近的情况：,上式表明，简并的状态受到周期场的微扰作用后，能级发生分裂，产生能隙,能隙即禁带宽度，禁带宽度由周期势场付里叶级数的系数Vn决定，表明禁带的出现是电子在周期场中运动的必然结果。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,21,2、当,时，即k极接近布里渊区界面时：,由于,利用二项式定理可将（8）式化成:,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,22,即,上式表示，当,右图给出了在,k=/a,分别以抛物线方式趋于,和,附近，E（,k,）随,k,的变化情况。,讲义5.36,5.37式,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,23,3、当,但并非无穷小时，即当k离布里渊区界面较远时:,已可适用于非简并微扰理论，电子的能量与自由电子能量逐浙相当，同上节非简并微扰结果相近。,总结以上内容，要点是：,在,k=n,/a,处,（布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为,2|Vn|,。,在,k=n,/a,附近,，能带底的电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶是向下的抛物线。,在,k,远离,n,/a,处,，电子的能量与自由电子的能量相近。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,24,能带的表示图式,根据能带En(k)是k的周期函数这一特点，表示En(k)与k的关系的图示有以下三种：1）简约区图式：,把k限制在第一布里渊区中，对于每一个k值，各能带都有一个相应的能量E1(k),E2(k),每个能带都在布里渊区中表示出来。,（2）重复图式：,取每个能带在第一布里渊区的图形作周期性重复。,（3）扩展区图式：,按照能量的高低，把各能带分别限制在第一、第二、第三，布里渊区，这样能量便是k的单值函数，一个布里渊区表示一个能带。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,25,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,26,能带中E（k）函数在k空间的特性,（1）周期性,即能量是k的周期函数，在倒易空间具有倒格子的周期性，即相差一个倒格矢的两个状态是等价的。,这可证明如下因为布洛赫函数,令,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,式左右两侧差位相,它也是,a,的周期函数，故：,Page,27,是k的周期函数。,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,可见,k与k+2n,/a,这两个状态不是独立的,任何依赖于波矢k的可观察的物理量在状态,和,都有相同的数值,（如代表相同的电荷分布）两个波函数所描述的状态差别仅在于其相位相差:,即能带必须是,k,的周期函数,周期由倒格子基矢确定:,Page,28,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,另外,将波矢,由于,代表相同的电子态,应当有相同的本征值。即应有相同的能量。,Page,29,（2）对称性,证明：把布洛赫函数代入薛定谔方程,得,上式两边取复共轭，得,即,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,30,再把（19）式中的k代之以-k，得,比较（20）、（21）式，可知,与,满足同样的本征方程，,其本征值应相等，即,本节结束,5.3 一维晶格中电子的布拉格反射,Page,31,例,