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《任意角和弧度制》教案

篇一：人教A版高中数学必修四 1.1《任意角和弧度制》

1.1 《任意角和弧度制》教案

【教学目的】 1.理解任意角的概念.

2.学会建立直角坐标系讨论任意角，推断象限角，掌握终边一样角的集合的书写. 3.理解弧度制，能进展弧度与角度的换算.

4.认识弧长公式，能进展简单应用.对弧长公式只要求理解，会进展简单应用，不必在应用方面加深.

5.理解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、处理征询题. 【导入新课】

复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出征询题：

1．初中所学角的概念.

2．实际生活中出现一系列关于角的征询题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ 4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 5.角的范围是什么？如何分类的？ 新授课阶段

一、角的定义与范围的扩大

1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，构成 一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可以简记为?． 2．角的分类：

正角：按逆时针方向旋转构成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转构成的角叫做负角；

零角：假设一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，那么 （1）象限角：假设角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.

说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.由于

x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的

射线.

4．终边一样的角的集合：由特别角30看出：所有与30角终边一样的角，连同30角本身在内，都可以写成30?k?360

?

??

?

?

?k?Z?

的方式；反之，所有形如

30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边一样.从而得出一般规律：

所有与角?终边一样的角，连同角?在内，可构成一个集合

S???|????k?360?,k?Z?，

即：任一与角?终边一样的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边一样的角不一定相等，相等的角终边一定一样.

例1在0与360范围内，找出与以下各角终边一样的角并推断它们是第几象限角？ （1）?120；（2）640；（3）?95012?.

?

??

??

解：（1）?120?240?360，

因此，与?120角终边一样的角是240，它是第三象限角； （2）640?280?360，

因此，与640角终边一样的角是280角，它是第四象限角； （3）?95012??12948??3?360，

?

?

?

?

?

?

?

???

?

??

因此，?95012?角终边一样的角是12948?角，它是第二象限角.

?

?

例2 假设??k?360??1575?,k?Z，试推断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边一样， 因此，?在第三象限.

?

例3 写出以下各边一样的角的集合S，并把S中适宜不等式?360????720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．

?

?

?

??

解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，

??

S中适宜?360????720?的元素是

60??1?360???300?,

60??0?360??60?,

?60??1?360??420.

??

（2）S??|???21?k?360,k?Z，

??

S中适宜?360????720?的元素是

?21??0?360???21?,

?21??1?360??339?,

?21??2?260??699?

??

（3）S??|??36314??k?360,k?Z

??

S中适宜?360????720?的元素是

363?14??2?360???356?46?, 363?14??1?360??3?14?,

?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．

分析：1）在360内第一象限角可表示为0???90；

（2）与0,90终边一样的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；

（3）第一象限角的集合确实是夹在这两个终边一样的角中间的角的集合，我们表示为：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

M???|k?360????90??k?360?,k?Z?．

学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：

P???|90??k?360????180??k?360?,k?Z?； N???|90??k?360????180??k?360?,k?Z?； Q???|270??k?360????360??k?360?,k?Z?．

说明：区间角的集合的表示不唯一.

例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.

??

解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；

??

??

当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|???45?k?360,k?Z；

??

????

因此，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?360???45?k?360,k?Z．

??

二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：

∵360?=2?（rad）， ∴180?=? rad. ∴ 1?=

?

180

rad?0.01745rad.

?

?180??? 1rad????57.30?5718.

???

o

S

l

2．弧长公式：l?r?. 由公式：?

ln?r?l?r??.比公式l?简单. r180

1

lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 S?留意几点：

1． 今后在详细运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦；

2．一些特别角的度数与弧度数的对应值应该记住：

3．应确立如下的概念：角的概念推行之后，不管用角度制仍然弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.

任意角的集合 实数集R

例6 把以下各角从度化为弧度：

(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1)

/

71

? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56

变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）?

18720?；(3)?. 63

例7 把以下各角从弧度化为度： （1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4)

3

5?. 4

解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把以下各角从弧度化为度： （1）

?4?3?

；（2）-；（3）.12310

解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.

例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：由于2R+2R=8,因此R=2,S=4. 课堂小结

1．弧度制的定义；

2．弧度制与角度制的转换与区别；

3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵敏运用；

篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

教学目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立

适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：理解任意角的概念

教学过程：

一、复习

师：上节课我们学习了角的概念的推行，推行后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学表达一下它们的定义。

生：略

师：上节课我们还学习了所有与α角终边一样的角的集合的表示法，[板书]

0S={β|β=α+k×360，k∈Z}

这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推行，处理一些简单征询题。

二、例题选讲

00例1写出与以下各角终边一样的角的集合S，并把S中适宜不等式-360≤βlt;720的元素β

写出来：

000，（1）60； （2）-21； （3）36314

0000解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中适宜-360≤βlt;720的元素是

00000000060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.

0000（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z} S中适宜-360≤βlt;720的元素是

000 000 000 -21+0×360=-21 -21+1×360=339-21+2×360=699

0000说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边一样的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z} S中适宜-360≤βlt;720的元素是

0，00， 0，00，0，00，36314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360=36314 说明：这种终边一样的角的表示法特别重要，应纯熟掌握。

例2．写出终边在以下位置的角的集合

(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上

分析：要求这些角的集合，按照终边一样的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个

0角即α，然后在后面加上k×360即可。

○○0解：（1）∵在0～360间，终边在x轴负半轴上的角为180，∴终边在x轴负半轴上

00的所有角构成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z }

○○000（2）∵在0～360间，终边在y轴上的角有两个，即90和270，∴与90角终边相

00同的角构成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z }

000同理，与270角终边一样的角构成的集合是S2={β|β=270+k×360，k∈Z }

提征询：同学们考虑一下，能否将这两条式子写成统一表达式？

师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：

0000S1={β|β=90+k×360，k∈Z }={β|β=90+2k×180，k∈Z }??????（1）

00000S2={β|β=270+k×360，k∈Z }={β|β=90+180+2k×180，k∈Z }

00={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z } ???????（2）

0师：在（1）式等号右边后一项为哪一项180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项为哪一项

00180的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1）式和（2）式

可统一写成90+n×180（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为

0000S= S1∪S2 ={β|β=90+2k×180，k∈Z }∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z }

00={β|β=90+n×180，n∈Z }

处理：师生讨论，教师板演。

提征询：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

00（考虑后）答：{β|β=k×180，k∈Z },{β|β=k×90k∈Z }

进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

00答：{β|β=45+n×180，n∈Z }

0推行：{β|β=α+k×180，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）

处理：“提征询”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推行”由学生归纳。 例1 假设?是第二象限角，那么2?，00??，分别是第几象限的角？ 23

师：?是第二象限角，如何表示？

0000解：（1）∵?是第二象限角，∴90+k×360lt;?lt;180+k×360（k∈Z）

0000∴ 180+k×720lt;2?lt;360+k×720

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。 ．．．．．．．．

（2）∵k?180??45???

2?k?180??90(k?Z)，

处理：先将k取几个详细的数看一下（k=0，1，2，3?），再归纳出以下规律：

?是第一象限的角； 22

??????当k?2n?1(n?Z)时，n?360?225??n?360?270(k?Z)，是第三象限的22当k?2n(n?Z)时，n?360??45????n?360??90?(k?Z)，

角。 ∴?是第一或第三象限的角。 2

?是第一或第二或第四象限的角） 3说明：配以图形加以说明。 （3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（

进一步求??是第几象限的角（??是第三象限的角），学生练习，教师校正答案。

三、例题小结

1． 要留意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；

2． 要学会正确运用不等式进展角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如

0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、课堂练习

练习2 假设?的终边在第一、三象限的角平分线上，那么2?的终边在y轴的非负半轴上. 练习3 假设?的终边与60角的终边一样，试写出在（0，360）内，与000?角的终边一样的3

角。 （20，140，260） （备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角 0，的集合，并指出-95012是否是该集合中的角。

000

（{α| 120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是） 0000

探究活动

通过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？

五、作业

A组:

1．与

终边一样的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．

2．在0o~360o范围内，找出以下各角终边一样的角，并指出它们是哪个象限的角：

（1）－265? （2）－1000o （3）－843o10’ （4）3900o

B组

3．写出终边在x轴上的角的集合。

4．写出与以下各角终边一样的角的集合，并把集合中适宜不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：

(1)60o (2)－75o (3) －824o30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0oC组：假设

是第二象限角时，那么

，

，

分别是第几象限的角？

篇三：1.1 任意角和弧度制 教学设计 教案

教学预备

1.教学目的

1、知识与技能

（1）推行角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边一样的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深化理解推行后的角的概念.

2、过程与方法

通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所构成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推行以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的断定方法；列出几个终边一样的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探究具有一样终边的角的表示.

3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推行以后，明白角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物. 2.教学重点/难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边一样角的表示法.

难点: 终边一样的角的表示.

3.教学器具

多媒体

4.标签

任意角

教学过程

【创设情境】

考虑:你的手表慢了5分钟，你是如何样将它校准的？假设你的手表快了1.25小时，你应

当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们觉察，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这确实是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

【探究新知】

1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就构成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，

叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.

2.如上述情境中所说的校准时钟征询题以及在体操竞赛中我们经常听到如此的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们考虑一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么征询题?又该如何区分和表示这些角呢?

[展示]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推行角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所构成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所构成的角叫负角(negative angle).假设一条射线没有做任何旋转,我们称它构成了一个零角(zero angle).

[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；如此，我们就把角的概念推行到了任意角（any angle）,包括正角负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.

3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须理解象限角这个概念.

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第二象限角.要特别留意:假设角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.

4.[展示投影]练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来答复这两个征询题.

(2)(答复)今天是星期三，那么天后的那一天是星期几?

天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,关于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?假设不唯一,那么终边一样的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

[展示课件]不难觉察,在教材图1.1-5中,假设

角的终边都是,而

. 的终边是,,那么

设,那么角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边一样的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边一样.

一般地,我们有:所有与角终边一样的角,连同角在内,可构成一个集合

,即任一与角终边一样的角,都可以表示成角

与整数个周角的和.

6.[展示投影]例题讲评

例1.在范围内，找出与角

象限角.（注：是指

例2.写出终边在轴上的角的集合.

上的角的集合,并把中适宜不等式终边一样的角，并断定它是第几） 例3.写出终边直线在

的元素写出来.

课堂小结

(1) 你明白角是如何推行的吗?

(2) 象限角是如何定义的呢?

(3) 你纯熟掌握具有一样终边角的表示了吗?会写终边落在

上的角的集合.

课后习题 轴、轴、直线

板书