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线性代数练习册第四章习题及答案

篇一：线代第四章习题解答

第四章 空间与向量运算

4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形； （2）求点A与B之间的间隔．

解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)

(2)

AB?

?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上

C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．

解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c

4-1-7. 试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形． 解：

设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AO＝OC，DO＝OB 由于AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 因此ABCD为平行四边形。

4-1-8. 已经明白向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．

?

解：.

p

rju

?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r

。

3

＝23 2

4-1-9. 已经明白一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标 解： 设起点A为（

x,y,z

）

p

rjx

AB?(2?x0)?4

p

rjy

AB?(?1?

y)??4 p

rjz

AB?(7?z0)?7

解得：

x

??2y?3z0?0

4-1-12. 求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：

（1）a??2,?1,1? ； （2）b??4,?2,2? ； （3）c??6,?3,3? ； （4）d???2,1,?1? ． 解：（1）a＝（2，－1，1）a?

2

2

?(?1)?1

2

2

cos??

22 ??

a36

cos??

?1?26

?? cos?? a6a6

（2）b=(4,-2,2) b?

4

2

?(?2)?2 cos??

2

2

26

? b3

cos??

26?2?b666

? cos?? b0???,?, b6b6b366

（3）c=(6,-3,3) c?

b

2

?(?4)?3 cos??

2

2

236

?

3

cos??

?33?

? 6

cos??

2

336

2

?

6 6

2

（4）d=(-2,1,-1)d?

(?2)?1?(?1)?6

cos??

?2??

6

3

cos??

16

?

d6

cos???d0??{?,,?

66d366

与前三向量单位同的d??{?

6,,?。 366

4-1-13. 设向量的方向余弦满足以下条件：

（1）cos??0； （2） cos??1 ； （3） cos??cos??0 指出这些向量与直角坐标系的坐标轴或坐标平面的关系．

解：

(1)cos??0(2)cos??1

说明向量与x轴垂直；说明向量与y轴平行；

(3)cos??cos??0

量的方向余弦． 解：

说明向量既和x轴垂直又与y轴垂直，即垂直于xoy面。

4-1-14. 设一向量与x轴及y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴夹角的两倍，求这向

设向量的方向余弦为cos?.cos?.cos?。由已经明白?????2?，又?cos2??cos2??cos2??1

1

2

即cos2??cos2??cos22??1?2cos2??(2cos2??1)2?1?cos??0或cos???111

?方向余弦为{0，0，?1},{?,?,?}。

222

?

3

,a?3,b?4，求以下各值：

（1）a?b ； （2）b?b ； （3）?a?b???a?b?； （4）(a?2b)?(3a?b) ；（5）?a?a??b?b?.

解： (1)a?b?abcos??3?4?cos

?

3 (2)b?b?bbcos??4?4?1?16；

2

2

?6；

(3) (a?b)?(a-b)?a?b?9?16??7；

(4) (a-2b)?(3a?b)?3a2?5ab?2b2?27?30?32??35；(5)(a?a)(b?b)?9?16?144；

4-2-2.试在点P?0,1,1?与Q??1,1,2?的联线上确定一点R，使点A?1,0,1?与R的联线垂直于

PQ.

????

解：PQ???1,0,1?，设R坐标为?x,y,z?即??1,0,1???x?1,y,z?1??0

?????????PQ?AR,????????PQ?AR

?1?x,y,z?1??0 ?R坐标为?1,y,1?。

4-2-3.已经明白向量a??e1?e2,b?e1?2e2?2e3求a与b的夹角. 解：

a???1,1,0?cos(a?b)?

b??1,?2,2?

a?b?1?1?1?(?2)?0?22

??? ab22?3

?a,b夹角为135?。

4-2-4.试用向量证明三角形的余弦定理.

证明：在?ABC中，建立向量如图，又c?a?b,c2??a?b??a2?b2?2ab.

2

c?a?b?2abcosc

222

4-2-5.已经明白向量a??1,01?,b???1,?2,1?，求a?b.

?a??1,0,-1

i

a?b?1

j0

b???1,?2,1`?k

?1??2k?2i1

?1?2

4-2-6.已经明白向量a?2e1?3e2,b?3e2?2e3，求a?b. .解.

a??2,3,0?b??0,3,2?

ijk

a?b?230?6i?4j?6k

032

a?b?62?(?4)2?6?222

、B(1,0,6)、C(4,5,-2)4-2-7.求以A(7,3,4)为顶点的三角形的面积

.

解：由向量积定义，知S?ABC

??1???1???

?ABACsin?A?AB?AC22

ijk

????????

?AB?AC??6?32?14i?42j?21k

?3

?S?ABC?

2

6

49??2

4-2-8.设a、b为互相垂直的单位向量，求以c?2a?3b,d?a?4b为邻边的平行四边形面积.

c?dc、d为邻边的平行四边形面积，即

4-2-9.已经明白向量a、b、c满足a?b?c?0，求证a?b?b?c?c?a.

S?c?d??2a?3b???a?4b?2a?a?8a?b?3b?a?12b?b?a?b?11

证a?b?a???a?c???a?a?a?c?c?a

4-2-10.已经明白向量a、b、c、d满足a?b?c?d,a?c?b?d,，求证向量a?d与b?c平行.

?a?d???b?c??a?b?a?c?d?b?d?c?a?b?c?d?a?c?b?d?0证：

故a?b与b?c共线。

、B(1,2,1)、C(2,3,0)与D(5,0,6)在同一平面上. 4-2-11.证明点A(2,-1,-2)

证：???1,3,3???0,4,2???3,1,?4?

?422004?

???,,????18,6,?12? ?2?4?4331?AB?AC?AD???1,3,3????18,?6,?12??0故A、B、C、D四点共面。

4-2-12.证明向量a??e1?3e2?2e3,b?2e1?3e2?4e3与c??3e1?12e2?6e3是共面的.

?

?e1?

??

证：a???1,3,2???e2?

?e??3??e1???

b??2,?3,?4???e2?

?e??3??e1???

c???3,12,6???e2?

?e??3?

??1?

?a?b??c?b??2

??3c?

故a、b、c共面。

a3?312

2??e1??1???

?4??e2??2

??6??3??e3?

3?312

2?4?06

4-2-13.假设a?b?b?c?c?a?0，证明向量a、b、c共面.

证：a?b?c???b?c?c?a??c???b?c??c??c?a??c?0故a、b、c共面。

4-2-14.设向量a??1,0,?1?,b??2,1,0?,c??0,0,1?，计算以下各式：

（1）?a?b??c ； （2）?a?b???a?c?

解：?1??a?b??c

10?1

?210?1001

?2??a?b???a?c?

、B（1,2,2)与C?3,?1,4?，4-2-15.四面体的三条棱从点O?0,0,0?连至点A(2,3,1)求四面体

OABC的体积.

解：

篇二：线性代数第四章习题

习题四答案

(A)

1． 求以下矩阵的特征值与特征向量:

?3??1

?1??3??

(1) ??

?1

?

(2) ?2

??2?0???1???2?(4) ??4

?10???1??1

???1? (6)?2

??30???

21?2130?14

2?

??2? 1??0??0? 2??

?2

?(3) ??2

?0??4?(5) ??2

?1?

?21?2201

?3

1???2? 5??

解 （1）矩阵A的特征多项式为

?E?A?

??3

1

1

??3

?(??2)(??4)，

因此A的特征值为?1?2,?2?4．

关于?1?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,1)

T

，因此A的属于特征值2的全部特征向量为k1?1?k1(1,1)

T

(k1?0为任意常数)．

关于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1)T，因此A的属于特征值4的全部特征向量为k2?2?k2(1,?1)T (k2?0为任意常数)．

（2）矩阵A的特征多项式为

??1?2?22

?(??1)(??1)(??3)，

?E?A??2

2

??12

??1

因此A的特征值为?1??1，?2?1，?3?3．

关于?1??1，解对应齐次线性方程组(?E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,?1,0)k1?1?k1(1,?1,0)

T

T

，因此A的属于特征值-1的全部特征向量为

(k1?0为任意常数)．

关于?2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1,1)k2?2?k2(1,?1,1)

T

，因此A的属于特征值1的全部特征向量为

T

(k2?0为任意常数)．

关于?3?3，解对应齐次线性方程组(3E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?3?(0,1,?1)

k3?3?k3(0,1,?1)

TT

，因此A的属于特征值3的全部特征向量为

(k3?0为任意常数)．

(3) 矩阵A的特征多项式为

??220

2?(??2)(??1)(??4)，

?E?A?20

??12

?

因此A的特征值为?1?1，?2?4，?3??2．

关于?1?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(2,1,?2)k1?1?k1(2,1,?2)

T

，因此A的属于特征值1的全部特征向量为 (k1?0为任意常数)．

T

关于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(2,?2,1)k2?2?k2(2,?2,1)

TT

，因此A的属于特征值4的全部特征向量为

(k2?0为任意常数)．

关于?3??2，解对应齐次线性方程组(?2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?3?(1,2,2)

k3?3?k3(1,2,2)

T

T

，因此A的属于特征值-2的全部特征向量为

(k3?0为任意常数)．

(4)矩阵A的特征多项式为

??4?2?3

?2?(??1)(??3)，

2

?E?A??21

??12

?

因此A的特征值为?1,2?1（二重），?3?2．

关于?1,2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,2,?1)k1?1?k1(1,2,?1)

T

T

，因此A的属于特征值1的全部特征向量为

(k1?0为任意常数)．

关于?3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(0,0,1)k2?2?k2(0,0,1)

T

T

，因此A的属于特征值2的全部特征向量为

(k2?0为任意常数)．

(5)矩阵A的特征多项式为

??4?2?1

1??(??2)，

2

?E?A?2?1

??3?1

?

因此A的特征值为?1?0，?2,3?2（二重）．

关于?1?0，解对应齐次线性方程组(0E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,?1,?2)

T

，因此A的属于特征值0的全部特征向量为

T

k1?1?k1(1,?1,?2) (k1?0为任意常数)．

关于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1,0)k2?2?k2(1,?1,0)

T

T

，因此A的属于特征值2的全部特征向量为

(k2?0为任意常数)．

(6)矩阵A的特征多项式为

??4?2?3

?2?(??1)(??3)，

2

?E?A??21

??12

?

因此A的特征值为?1?6，?2,3?2（二重）．

关于?1?6，解对应齐次线性方程组(6E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,?2,3)k1?1?k1(1,?2,3)

T

T

，因此A的属于特征值6的全部特征向量为

(k1?0为任意常数)．

关于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1,0)

T

，?3?(1,0,1)

T

T

，因此A的属于特征值2的全部特征向量

T

为k2?2?k3?3?k2(1,?1,0)

2． 设A为n阶矩阵，

?k3(1,0,1) (k2,k3为不全为零的任意常数)．

k

(1) 假设A?O，且存在正整数k，使得A?O(A称为幂零矩阵)，证明:A的

特征值全为零；

(2) 假设A满足A2A(A称为幂等矩阵)，证明:A的特征值只能是0或1；

(3) 假设A满足A2?E(A称为周期矩阵)，证明: A的特征值只能是1或?1． 证明：设矩阵A的特征值为?，对应的特征向量为?，即A????. （1）因Ak???k?，而Ak?O,故?k??O.又因??O，故?k?0，得??0.

（2）因A2???2?，而A2?A,故???A??A2???2?，即

22

(???)??O.又因??O，故????0，得??0或1.

（3）同（2）可得??A??A2???2?，即(?2?1)??O.又因??O，故

2

??1?0，得??1或?1.

3． 设?1,2分别为n阶矩阵A的属于不同特征值?1和?2的特征向量，证明:?1??2不是A的特征向量．

证明：反证法.假设?1??2是A的特征向量，相应的特征值为?，那么有

A(?1??2)??(?1??2)，

即A?1?A?2???1???2.又因?1,?2分别为矩阵A的属于特征值?1和?2的特征向量，即A?1??1?1，A?2??2?2，那么

??1???

2

???1???2，即(???1)?1?(???2)?2?O.

因?1,?2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故?1,?2线性无关，因此可得

???1?0,???2?0，即???1??2，矛盾.

4． 证明定理4.4.

假设?是n阶矩阵A的特征值，那么

m

(1)设f(x)?a0?a1x???amx，那么f(?)是f(A)的特征值，其中

f(A)?a0E?a1A???amA

m

(m?N)；

篇三：同济版线性代数第四章习题全解

第四章 向量组的线性相关性

1．设v1?(1,1,0)T,v2?(0,1,1)T,v3?(3,4,0)T, 求v1?v2及3v1?2v2?v3.

解 v1?v2?(1,1,0)T?(0,1,1)T

TT

?(1?0,1?1,0?1)?(1,0,?1)

3v1?2v2?v3?3(1,

?(0,

1,1,

0)?2(0,2)

TT

1,1)?(3,

T

4,

0)

T

T

?(3?1?2?0?3,3?1?2?1?4,

3?0?2?1?0)

2．设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)其中a1?(2,5,1,3)T,

TT

a2?(10,1,5,10),a3?(4,1,?1,1),求a

解由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得

a?

16

(3a1?2a2?5a3)?

T

16

[3(2,5,1,3)

T

?2(10,1,5,10)

T

?5(4,1,?1,1)]

T

?(1,2,3,4)

3．举例说明以下各命题是错误的:

(1)假设向量组a1,a2,?,am是线性相关的,那么a1可由a2,?am,线性表示. (2)假设有不全为0的数?1,?2,?,?m使 ?1a1????mam??1b1????mbm?0

成立,那么a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关. (3)假设只有当?1,?2,?,?m全为0时,等式 ?1a1????mam??1b1????mbm?0

才能成立,那么a1,?,am线性无关, b1,?,bm亦线性无关.

(4)假设a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关,那么有不全为0的数, ?1,?2,?,?m使?1a1????mam?0,?1b1????mbm?0 同时成立.

解 (1) 设a1?e1?(1,0,0,?,0) a2?a3???am?0

满足a1,a2,?,am线性相关,但a1不能由a2,?,am,线性表示.

(2) 有不全为零的数?1,?2,?,?m使

?1a1????mam??1b1????mbm?0 原式可化为

?1(a1?b1)????m(am?bm)?0

取a1?e1??b1,a2?e2??b2,?,am?em??bm 其中e1,em为单位向量,那么上式成立,而

a1,?,am,b1,?,bm均线性相关

(3) 由?1a1????mam??1b1????mbm?0 (仅当?1????m?0) ?a1?b1,a2?b2,?,am?bm线性无关 取a1?a2???am?0 取b1,?,bm为线性无关组

满足以上条件,但不能说是a1,a2,?,am线性无关的. (4) a1?(1,0)T a2?(2,0)T b1?(0,3)T b2?(0,4)T

?1a1??2a2?0??1??2?2?

?

? ??1??2?0与题设矛盾. 3

?1b1??2b2?0??1???2?

?4

4．设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组 b1,b2,b3,b4线性相关.

证明设有x1,x2,x3,x4使得 x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0那么

x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a4)?x4(a4?a1)?0 (x1?x4)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?(x3?x4)a4?0

(1) 假设a1,a2,a3,a4线性相关,那么存在不全为零的数k1,k2,k3,k4, k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3;k4?x3?x4;

由k1,k2,k3,k4不全为零,知x1,x2,x3,x4不全为零,即b1,b2,b3,b4线性相 关.

?x1??x1

(2) 假设a1,a2,a3,a4线性无关,那么?

?x2?x?3

?x4?0

?1?

?x2?0?1

??

0?x3?0

??

?x4?0?0

0110

0011

1??

??0??0??????1??x1??x2?

?0 ?x3?x4??

10110

0011

1001

?0知此齐次方程存在非零解

由

100

那么b1,b2,b3,b4线性相关.

综合得证.

5．设b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2???ar,且向量组 a1,a2,?,ar线性无关,证明向量组b1,b2,?,br线性无关. 证明 设k1b1?k2b2???krbr?0那么

(k1???kr)a1?(k2???kr)a2???(kp???kr)ap???krar?0

因向量组a1,a2,?,ar线性无关,故

?k1?k2???kr?0?1

??

k2???kr?0??0

???

???????????k?0?0?r

?1??

???0

1??k1

??1??k2????????1??kr??0?0?????? ????????0?

1?1??

???0

11?1

?1?0故方程组只有零解

由于

0?0

那么k1?k2???kr?0因此b1,b2,?,br线性无关

6．利用初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组:

?25??75(1) ?

75???25

31949432

17535420

43?

?132?

;(2) ?134??48?

?1??0?2???1

1201

2130

25?1431111

1???1?

. ?3???1?17233

43??3?

?5??5?

?25??75

解 (1) ?

75???25?25

r4?r3?

?0~?r3?r2?0

??0

43??25

?r?3r?

1132?2?0 ?~?134r3?3r10

????48?r4?r1?043??3?

?3??0?

因此第1、2、3列构成一个最大无关组.

?1??0(2) ?

2???1

1201

21301200

25?14

21

1??1?r?2r?

1?1?3?0~??03r?r1??4

???1??0

2520

1?

??1?

， ??2??0?

12?20

21?1?2

25?52

1???1?

?1???2?

?1

r3?r2?0

?~?r3?r4?0

??0

?20

因此第1、2、3列构成一个最大无关组．

7．求以下向量组的秩,并求一个最大无关组:

?1??9???2????????2??100???4?

(1) a1??,a2??,a3??; ????1102

????????????44?8??????

TTT

(2) a1?(1,2,1,3),a2?(41,?5,?6),a3?(1,?3,?4,?7). 解 (1) ?2a1?a3?a1,a3线性相关. T?a1?T

由?a2

?T?a3

??1?????9?????2

2100?4

?1102

4??4??8??

~

?1

??0?0??1??0?0?

2820

?1190

4?

??32? 0??3?

??18? ?10??

秩为2,一组最大线性无关组为a1,a2.

T

?a1?T

(2) ?a2

?T?a3

??1213???????4?1?5?6?~???1?3?4?7???

213??1??~?0?9?9?18? ?0?000??

2?9?5

1?9?5

T

秩为2,最大线性无关组为a1T,a2. 8．设a1,a2,?,an是一组n维向量,已经明白n维单位坐标向量e1,e2,?,en能 由它们线性表示,证明a1,a2,?,an线性无关. 证明 n维单位向量e1,e2,?,en线性无关

不妨设:

e1?k11a1?k12a2???k1nane2?k21a1?k22a2???k2nan????????????en?kn1a1?kn2a2???knnan

T?e1?T?e2

因此 ?

???eTn

??k11????k21???

?????k??n1k12k22?kn2

????

k12k22?kn2

????

T

k1n??a1

??Tk2n??a2

????

???T

knn???an

?

??? ???a1

TT

两边取行列式，得

e1?en

TTT

k11?k21?kn1

T

k1na1T

k2na2

e1

TT

e2

??

由

e2?

?0?

a2?

?0

T

knnan

en

T

an

T

即n维向量组a1,a2,?,an所构成矩阵的秩为n 故a1,a2,?,an线性无关.

9．设a1,a2,?,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n维向量都可由它们线性表示.

证明 设?1,?2,?,?n为一组n维单位向量，关于任意n维向量

a?(k1,k2,?,kn)那么有a??1k1??2k2????nkn即任一n维向量都

T

可由单位向量线性表示.

必要性

?

a1,a2,?,an线性无关，且a1,a2,?,an能由单位向量线性表示，即

?1?k11?1?k12?2???k1n?n?2?k21?1?k22?2???k2n?n

????????????

?n?kn1?1?kn2?2???knn?n

T?a1?T?a2故?

???aT?n

??k11????k21???

?????k??n1

k12k22?kn2

????

T

k1n???1?

??T?k2n???2?

?? ??????

??T?knn???n?

两边取行列式，得