数学解题教学的一些看法.doc

关注学习反思，促进自主学习
---对数学解题教学的一些看法
反思学习就是一种培养学生，发展潜能的学习方式。反思是一个能动的、审慎的认知加工过程。我国最早的教育著作《学记》中说：“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。”从学习方面提出反思在学习活动中的作用。任何一个学生，不论其学习能力起点如何，都有必要通过多种途径对自己的学习进行反思。由于数学的抽象程度高，因此数学理论的真实性并不是一目了然的，需要进行深入的分析论证，坚持反复的思考才能得到理解。这种理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又靠对思维过程的不断反思才能达到。因此，坚持让学生自己独立思考，强调随时对思维过程进行反思，是提高课堂教学效果、发展学生能力的关键措施。及时地提供反馈信息，启发学生根据反馈信息，不断地进行反思，从而使学生在各个不同的程度上了解自己学习新知识的方法和掌握新知识的程度，促进部分学生及时采取补救措施，全面提高教学质量。笔者在平常的教学中通过以下几个方面进行反思：
一、反思审题
读题不是把字面意思读一遍就结束了，而是要迅速准确的把握住题目的题表信息和题目的隐含信息。
1.1反思是否读出了题表信息
例1：如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是
分析：本题考查的是一元二次方程的根的情况，这道题看上去简单，学生在审题时容易大意，直接由“有两个不相等的实数根”得出>0，，得到K>
而通过反思审题我们可以发现一元二次方程须满足0
例2：已知：如图所示，直线与轴，轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与轴的另一个交点
（1） 求抛物线的解析式
（2） 若点P在直线BC上，且,求点P的坐标
认真审题，我们发现这一题强调的是“点P在直线BC上”，显然题目中的表层信息是要考虑点P在直线上的位置，要分类讨论点P可能在第一象限，可能在第二象限，当然由题意可否定点P在第四象限。学会读出题中的表层信息可以减少题目漏解，确保解答的完备性。
通过反思审题，学会读出表层信息就是要能够根据题目的“字面”意义获取有利于解题的信息。如已知一元二次方程有两个解，要考虑两个解是相等还是不相等两者。在如已知两个三角形相似，要注意是否存在不同点的对应关系。两圆相切要考虑两圆有外切和内切，使△ABC是等腰三角形，要分成三种情况讨论，⑴AB=BC, ⑵AB=AC ⑶BC=AC
1.2反思是否读出了题目的隐含信息
例：已知，是关于的方程的两根，且满足，求m的值
分析：这题表面看似简单，由根与系数的关系可得，，，，解这个一元二次方程可求出m的值。但这题要考虑用根与系数的关系的前提是解要存在。所以需要△≥0，
读题是解题的基础，读懂题是正确、迅速的解题的前提。波利亚说：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行计算。”事实上，这样的错误经常出现。为此，在平时的教学中笔者注意引导学生分两步读题，第一步：每读一小部分，找出这句话的关键部分做上记号，同时思考由这部分我们可得出哪些信息，这样一小部分一小部分的读完整道题。第二步：再快读整道题，找出整题重点，避开与解题无关的文字，直击主题。
二、学会检验
检验不是计算题的专利，学生的很多错误都是由于缺少检验而导致的，因此养成检验的习惯是学好数学的重要条件之一。
2.1学会边算边验
例:：抛物线（）经过（0,1）和（2,3）两点
（1） 如果抛物线的开口向下，对称轴在轴的左侧，求的取值范围
（2） 若对称轴为，求抛物线的解析式
分析：这题的第一问错的学生非常多，原因是直接由抛物线的开口向下即得<0
如果这样做，那就漏掉了条件“对称轴在轴的左侧”，这时我们要细细品味这句话。千万不能急功近利。
在解题过程中可能会出现错误，这需要我们在解题时边算边验，一步一回头，争取一次做到位，防止无效劳动。
2.2学会算完再验
例：若关于的一元二次方程的常数项为0，求m的值
分析：，可解得，，这时如果不再验算，那这道题就徒劳无功了。这题的验算只需将，代入原方程，将代入就会发现原方程不是一元二次方程了。
让学生学会验算，可以从不同角度，不同侧面去探讨解题结果是否正确，这对培养学生思维的灵活性、严密性有很大帮助。养成良好的验算习惯，对培养学生良好的解题习惯非常重要。
三、反思方法的优劣
学生在解题时往往满足于做出题目，而对自己的解题方法的优劣却从来不加评价，作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足，这是学生思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现。因此，教师必须引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，努力寻找解决问题的最佳方案。通过这一评价过程，开阔学生的视野，使学生的思维逐渐朝着多开端、灵活、精细和新颖的方向发展，在对问题本质的认识不断深化过程中提高学生的概括能力，以促使学生形成一个系统性强、着眼于相互联系的数学认知结构。数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。
1.一题多解，既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又能开拓思维，让学生充分发挥自己的数学思维运用能力。
例如：已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝36°求∠BED的度数
解法1：由ED∥AC，得∠DEA+∠EAC＝180°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠EAB＝36°
∴∠DEA＝144°∵∠BEA+∠AED+∠BED＝360°∴∠BED＝126°
解法2：∵∠BEA＝90°∠BAE＝36°∴∠ABE＝54°，∵∠ABE+∠EBD+∠C+∠BAC＝180°
∴∠EBD+∠C＝54°∵ED∥AC，∴∠C＝∠EDC，∴∠EBD+∠EDC＝54°，∴∠BED＝126°
解法3：延长AE交BC于点F,也很容易解决。
2、一题多解可以让学生培养善于思考的学习习惯，找到问题的最优解法。
例如：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
解法1：利用△OCE≌△ODE，得到∠OED=∠OEC，再通过证明图中的两个小
三角形的全等来证明∠ECD=∠EDC；同样用三角形的全等来证明OE是线段CD的垂直平分线．

解法2.利用角平分线的性质得到ED=EC，再由等边对等角得到∠EDC=∠ECD,继而得到∠ODC=∠OCD，再由等角对等边得到OC=OD；第三个问题直接由ED=EC，OC=OD得到OE是线段CD的垂直平分线．

在肯定学生们答案的同时，让他们比较哪种方法最简便。通过比较，历练了学生们的最优化解题意识。这样学生可以从中体会到学习乐趣，感受到自己在学习当中的主体地位，能清楚地意识到自己在学习中的创造和自学的能力，极大地增强了他们学好数学的信心，更培养了他们的发散思维能力。还要引导学生通过解题以后的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼为今后解题可作参考的方法。

3、思多题一解，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决这类问题。这样就容易掌握一类问题的解法。能够做到举一反三，融会贯通。
例如：
1.已知a,b是实数，且 求 的值

2.已知，已知a,b是实数，且 求的值

以上两题的结果相同，主要是考察完全平方式，算术平方根，绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可。
4、思归类，将类似题型作比较，找异同点。
很多同学做题时做一题扔一题，从不归纳分析，只见树木不见森林，只要题型稍微一变，就束手无策。笔者在平常的教学中注意帮助学生分析比较类似题型，发现它们之间的异同点，让学生能更深刻的理解类似题型。
例如：在梯形中出现一腰上的中点时，连接顶点和这个中点并延长与另一底边相交构造全等三角形
例1：如图：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点，则AE和BE有什么位置关系？为什么？ 证明：延长AE和BC相交于点F,∵E是CD的中点，∴DE=CE, ∵AD∥BC, ∴∠3=∠F, 又∠1=∠2，∴△ADE≌△FCE ∴AE=FE, AD=CF,
∵AB=AD+BC, ∴AB=CF+BC,即AB=BF, 又AE=EF,∴BE⊥AF

例2、在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC上的中点，
EF⊥AB于F点。AB=12，EF=5，求
解：连接AE并延长交BC的延长线于点G,连接BE, ∵E是DC的中点， ∴DE=EC,∵AD∥BC,∴∠3=∠G,又∠1=∠2，∴△ADE≌△GCE
∴AE=GE,∴, ，
∴

例3：如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,以CD为一边的等边三角形DCE的另一顶点E在腰AB上
（1） 求∠AED的度数
（2） 求证：AB=BC
（3） 如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°,求的值

分析：本题的第(1)(2)两个问题学生基本可以解决，主要问题在第三问，由结果求的值易想到构造相似三角形求值，单看这一题构造起来就不太容易，如果能够和上面两题类比我们就会发现它们的共同点是有梯形的腰的中点，这时我们作如图2所示的辅助线，利用
△DFG≌△CFB可得=1
　认知心理学认为："学生学习的过程是一个把教材知识结构转化为自己认知结构的过程。"有效的练习可以推动这个过程的顺利完成。课堂练习不是对所学新知的简单重复，而是要成为学生掌握知识．形成技能，发展能力，培养兴趣的广阔天地。
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