高三数学代数解答题选讲(文)人教实验版(A)知识精讲.doc

高三数学代数解答题选讲（文）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
代数解答题选讲

二. 重点、难点
1. 三角、向量、综合
2. 函数、导数、综合
3. 数列、综合

【典型例题】
[例1] 在中， 所对边分别为。
已知，且。
（I）求大小。
（II）若求的面积S的大小。
解：（I）∵，
∴ ＝0
∴
∵
∴
∵ 　　　　　∴
∴
∵ 　　　　　∴
（II）△ 中，
∵ 　　∴ 。
∴ ∴
∴ △的面积

[例 2] 已知函数的导数为实数，。
（I）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；
（II）在（I）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（III）设函数，试判断函数的极值点个数。
解：（I）由已知得，
由，得，。
∵ ，，
∴ 当时，，递增；
当时，，递减。
∴ 在区间上的最大值为，∴。
又，，
∴ 。
由题意得，即，得。
故，为所求。
（II）解：由（1）得，，点在曲线上。
（1）当切点为时，切线的斜率，
∴ 的方程为，即。
（2）当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，
∴ 的方程为 。
又点在上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即，∴。 ∴ 切线的方程为。
故所求切线的方程为或。
（ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意。）
（Ⅲ）解： 。
∴
。
二次函数的判别式为
，
令，得：
令，得
∵，，
∴ 当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点。

[例 3] 数列中，，其前项的和为。
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）求证：。
（I）证明：
∵
∴
∵，
∴＝
是首项为2，公差为1的等差数列。
（II）解：
=，

=。
（III）证明： ，

。

。

[例 4 ] 中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知

（1）求的值；
（2）求的面积。
解：（1）由，得
为锐角，，

（2）
又，，得，

（若通过得出，求出，
未舍去，得两解，扣2分。）

[例 5] 数列满足，（），且从第二项起是公差为的等差数列， 是的前项和。
（1）当时用与表示与；
（2）若在与两项中至少有一项是的最小值，试求的取值范围；
（3）若为正整数，在（2）的条件下，设取为最小值的概率是，取为最小值的概率是，比较与的大小。
解：（1）由已知，当时，，即。

。
（2）解法一：由已知，当时，是等差数列，公差为，数列递增。
若是的最小值，则，即，得。
若是的最小值，则，即，得。
∴ 当与两项中至少有一项是的最小值时，的取值范围是。
（2）解法二：由（1），　当时，，且也满足此式，
∵ 在与两项中至少有一项是的最小值，
∴ ，
解得，从而的取值范围是。
（3）由（2）知，，26，…，}
若是的最小值，则，即
若是的最小值，，即
∴ 。

[例 6] 已知二次函数（）。
（1）当０＜＜时，（）的最大值为，求的最小值；
（2）对于任意的，总有||。试求的取值范围；
（3）若当时，记，令，求证：成立。
解：⑴由知故当时取得最大值为，
即，
所以的最小值为；
⑵ 对于任意的，总有||，
令，则命题转化为，
不等式恒成立，
当时，使成立；
①

②
当时，有
对于任意的恒成立；
，则，故要使①式成立，
则有，又，故要使②式成立，则有，由题。
综上，为所求。
（3）由题意，

令
则

在时单调递增，。
又，
，综上，原结论成立。

[例 7] 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小
解：解法一 由
得
所以
即
因为所以，从而
由知 从而。
由
即
由此得所以
解法二：由
由、，所以即
由得
所以
即 因为，所以
由从而，知B+2C=不合要求。
再由，得 所以

[例 8] 在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3。
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn。
解：（1）由条件得：
（2） ①
∴ 6Tn=6+6×62+11×63+…+（5n－4）6n ②
①－②：

∴

[例 9] 定义域为R的偶函数，方程在R上恰有5个不同的实数解。
（1）求x<0时，函数的解析式；
（2）求实数a的取值范围。
解：（1）设x<0，则－x>0
∵为偶函数， ∴
（2）∵为偶函数，∴=0的根关于0对称。
由=0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根。
且两个正根和二个负根互为相反数
∴ 原命题图像与x轴恰有两个不同的交点
下面研究x>0时的情况
∵
即 为单调增函数，故不可能有两实根
∴ a>0 令
当递减，
∴ 处取到极大值
又当
要使轴有两个交点当且仅当>0
解得，故实数a的取值范围（0，）
方法二：（2）∵为偶函数， ∴=0的根关于0对称。
由=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根。
且两个正根和二个负根互为相反数
∴ 原命题图像与x轴恰有两个不同的交点
下面研究x>0时的情况
与直线交点的个数。
∴ 当时，递增与直线y=ax下降或是x国，
故交点的个数为1，不合题意 ∴a>0
由几何意义知与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与相切之间的情形。

设切点
∴ 切线方为
由切线与y=ax重合知
故实数a的取值范围为（0，）

[例 10] 已知函数，。
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2）若函数在处取到最大值，求的值；
（3）若（），求证：方程在内没有实数解。
（参考数据：，）
解：（1），
令（）
则，
由于，则在内的单调递增区间为和；
（注：将单调递增区间写成的形式扣1分）
（2）依题意，（），
由周期性，
；
（3）函数（）为单调增函数，
且当时，，，此时有；
当时，由于，而，
则有，即，即，
而函数的最大值为，且（）为单调增函数，
则当时，恒有，
综上，在恒有，即方程在内没有实数解。

[例 11] 已知函数（）的图象为曲线。
（1）求过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由。
解：（1），则，
即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是；
（2）由（1）可知，
解得或，由或
得：；
（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，
，
则切线方程是：，
化简得：，
而过B的切线方程是，
由于两切线是同一直线，
则有：，得，
又由，
即
，即
即，
得，但当时，由得，这与矛盾。
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。-

[例12] 已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，。将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为。
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前5项成等比数列，，，求满足
的正整数的个数。
解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7，
由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，
所以3只可能是数列中的第1，2，3项，
若，则， 若，则，
若，则；
（注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）
（2）首先对元素2进行分类讨论：
① 若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得
，这显然不可能；
② 若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，
因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，
所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，
这样，
则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8，
上述数列符合要求；
③ 若2是数列的第项（），则，
即数列的公差，
所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的前8项中由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾。
综上所述，，
其次，当时， ，
，，
当时， ，因为是公差为的等差数列，
所以，
所以，此时的不符合要求。
所以符合要求的一共有5个。

【模拟试题】
1. 已知锐角三角形的三边为连续整数，且角、满足。
（1） 求角的取值范围及△三边的长；
（2） 求△的面积。
（1） 设△的三边为，，（，），由题设，
2. 已知函数，且。
（1）求实数的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数的取值范围，使得关于的方程分别为：
① 有且仅有一个实数解；② 有两个不同的实数解；③ 有三个不同的实数解。
3. 已知向量，若，且。
（Ⅰ）试求出和的值；
（Ⅱ）求的值。
4. 已知数列的前n项和满足，又
（Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，使成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，请说明理由。
5. 已知，求函数的单调区间。
6. 数列满足递推式，其中，
（1）求；
（2）若存在一个实数，使得为等差数列，求值；
（3）求数列的前项之和。
7. 已知函数
（1）上存在单调递增区间，求的取值范围。
（2）若存在实数，是否存在实数处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a， b， c，若不存在，说明理由。
8. 已知，且，数列的前项和为，它满足条件。数列中，。
（1）求数列的前项和；
（2）若对一切都有，求的取值范围。
9. 设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和。

【试题答案】
1. 解：由题意，，，即，，，
得。
① 当时，，，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有
，得，又，
得，解得，舍去；
② 当时，，，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有
，得，又，
得，解得，
故△的三边长为，，。
2. 解：（1）由，得，，∵ ，∴ 。
（2）由（1），，从而，只需研究在上的单调性。
当时，。
设，且，则
，
∵ ，∴ ，，，
∴ ，即。
∴ 函数在区间上是单调递增函数。
（3）原方程即为 ……①
恒为方程①的一个解。
若时方程①有解，则，解得，
由，得 ；
若且时方程①有解，则，解得，
由且，得或。
综上可得，当时，方程有且仅有一个解；
当时，方程有两个不同解；
当时，方程有三个不同解。
3. 解：（I）
即

（II）
又

4. 解：（I）
又
（II）由（I）知 ①
当时， ②
①－②得 又，且，

于是是等比数列，公比为 所以
（III）由（II）知不等式
整理得
假设存在正整数m，n，使成立，由于为偶数，为整数
所以只能有

因此存在正整数；或，使成立
5. 解：
=。
记只需讨论的正负即可。
（1）当
当

（2）当，
①当
在此区间上是增函数；
在区间
在此区间上是减函数；
②当在区间
在此区间上是减函数；在区间
在此区间上是增函数；
当
处连续， 在上是减函数；
④当，在区间
在此区间上是减函数；
在区间在此区间上是增函数。
6. 解：（1）由，知

（2）

（3）由（2）得

先求

由上两式相减

7. 解：（1）当
上存在单调递增区间，即上存在子区间使
（i）当是开口向上的抛物线，
显然上存在区间使适合
（ii）当是开口向下的抛物线，
要使，

（2）不存在实数a， b， c满足题设条件，
事实上，由

故不存在实数a， b， c满足题设条件。
8. 解：（1）
当时，。　　　　　　　
当≥2时，=，

此时·=·，
……=
设……+，
……＋，

（2）由可得
当时，由 可得，
对一切都成立，此时的解为。　
当时，由 可得
≥ 对一切都成立，
此时的解为。　　　　　　　　　　　　　　
由，可知，对一切都有的的取值范围是或。
9. 解：（1）：当

故的通项公式为的等差数列。
设的通项公式为
故
（2）

两式相减得