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数学学习需要悟道
建构主义认为“知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。”如果用中国传统文化去解释的话，建构主义理论的关键就是一个“悟”字。教学就让学生在教师的引导下“悟”得。下面以两个课例来谈谈自己的体会。
一、逆流而上悟得从哪里来
教学“整百数乘一位数的口算”。经过例1的教学以后，教师用多媒体呈现100、200、300、400……乘1到9的81道算式和结果。
师  观察这些算式，你有什么发现？
生  这些算式的结果末尾都有两个0。
生  我不同意，有的算式结果是三个0
师  是啊，有的是两个0，有的却是三个0，谁能告诉我们为什么呢？
生  有三个0是因为在用百位数和一位数相乘时得到了整十数，再在后面添上两个0，就变成了三个0。
师  你观察得很仔细，那么同学们怎么描述她刚才发现的共同点呢？
生  我觉得只要改一个字就可以了，就是这些算式的结果都在末尾“添”上了两个0。（同学们都对他投去敬佩的目光）
师  哪些算式结果的末尾有三个0？
学生指出200、400、600、800乘5和500乘2、4、6、8的八道算式，教师用有色字体标出。
师  再观察这些算式，有很多算式不一样但是结果却一样，比如200乘7和700乘2，为什么会出现这样的结果呢？

生  200乘7先算2乘7是14，700乘2先算7乘2也得14，所以结果一样。
师  你还能说出哪些算式用的是同一句乘法口诀？（学生举出很多例子）你们说说整百数乘一位数应该怎么算？
生  ……
师  原来如此，看起来陌生的知识，原来就是我们学过的乘法口诀。那么根据一句乘法口诀你能想到几道算式？（多媒体出示“动脑筋：□□□×□=2400”）
上面的教学呈现出了81道整百数乘一位数口算算式，引导学生在观察、发现、讨论、总结的过程中，最终“悟”得整百数乘一位的计算方法。这种悟得对孩子们来说是一种收获，更是一种难得的熏陶。它让学生明白我们千方百计思索的新知，原来就是用乘法口诀计算出百位上的数和一位数相乘的结果，再加上两个0来进行计算的。
就整个数学学习过程而言，很多知识的学习都是从旧知向新知的迁移，是一种倒三角的构建过程，由根衍生出主杆和若干的枝节。有的时候用让学生逆流而上，“悟”出知识从哪里来，所获得的教学效果和情感体验比顺着来要强很多。而逆流而上的关键是，在整个教学过程中，学生其实一直在运用某个旧知来解决问题，总有一种似是而非的朦胧感，仅仅隔着一层窗户纸，教师不轻易捅破它，一定要让学生在经过不断观察、发现、分析、解决、归纳后，自己去“悟”出来。
二、顺流而下悟得到哪里去
教学“比例尺的认识”一课。
师  请同学们将自己文具盒的底画在一张纸上。（学生们纷纷动手找出一张足够大的纸将文具盒的底描在纸上）
师  如果给出这样一张比文具盒底面积小的纸张，你还能画出文具盒的底吗？（学生讨论）
生  只要将文具盒的底缩小一点就可以了。
师  怎么缩小？
生  将文具盒底的长和宽缩小一定的倍数就可以了。
师  同学们都同意他的想法吗？请大家动手在作业纸上画出文具盒的底。（画完后和原来的文具盒进行对比）
师  有的同学画的看起来应该是符合要求的，有的看起来却不像原来文具盒的底了，这是为什么？
生  因为文具盒底的长和宽没按照同一个倍数进行缩小。
生  要想不改变文具盒的底的形状，长和宽要按照相同的倍数缩小。
师  同学们总结的很好！生活中有很多物体都不能按照原来的大小画到图纸上（多媒体出示多幅实物照片和图纸照片）观察这些图片，你有什么发现？
生  有些物体需要缩小一定的倍数画在图纸上，有些物体需要放大一定的倍数画在图纸上。
生  不管放大还是缩小，它们只能按照相同的倍数去画。
师  图上的长度我们称为图上距离，实际的长度我们称为实际距离。从刚才的学习我们知道，图上距离和实际距离之间存在着一定的倍数关系。那么我们如何表示图上距离和实际距离的倍数关系呢？
生  可以用除法表示。
生  也可以用比来表示。
……
逆流而上的逆向思维方式训练对学生学习方式的转变是显而易见的，但是顺流而下的顺向思维训练也是必不可少的。在这个环节的教学中，教师通过创设情境，从两个量之间的倍数关系这一知识原点出发，通过操作、观察、发现、总结，逐步悟得比例尺的由来，让学生清楚比例尺其实只是倍数关系这个知识的另外一种呈现形式而已。在整个教学环节中，为什么产生比例尺？究竟什么是比例尺？比例尺是什么？这些根本性问题都在顺势而下逐步推进中让学生逐步感悟。教学最重要的就是要找准知识的原点，然后逐步拓展开来，引导学生在用旧知逐步解决问题的基础上迁移建立新的概念。似旧非旧，似新非新，重在悟得，不在学会。
弗洛伊德认为：“一个人童年时期的经历虽然会随着时光的流逝而逐渐淡忘，甚至在意识层中消失，但却会顽固地潜藏于意识中，对人的一生产生恒久的影响。”“悟道”的经历就是这样一种过程。在整节课或者一节课中某个环节，我们都可以循着顺向思维或者逆向思维这样一条途径让学生去“悟道”。教学的关键之处在于如何让学生去悟，悟得什么。中国道家有一句叫做“了道升仙”，意思大概是一个人经过千辛万苦终于悟得大道，得道成仙。以唯物主义看来，此乃空谈。但今天的课堂，让学生想去悟，能去悟，悟有所得的还不多。我们时常提到要教给学生学习方法，让学生学会学习，笔者以为无论是知识技能、思想方法、思维训练、活动经验，最好都不是我们教给学生的，而应是学生自己“悟”得的。