MATLAB6.0数学手册.doc

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计算机书名
MATLAB6.0数学手册

蒲 俊　　吉家锋　　伊良忠　　编著

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计算机书名
内 容 提 要
MATLAB已成为多学科、多种工作平台的功能强大、界面友好、语言自然并且开放性强的大型应用软件，目前的最高版本是6.0版。本教程以6.0版为基础，从高等工科院校的数学课程出发，提供了使用MATLAB的实践性指导。本教程以教学的手段，系统详细地介绍了MATLAB在高等数学、数值分析、函数作图、线性代数、概率统计和优化理论中的应用，并配备了大量的例题，让读者能很快掌握MATLAB的运算技巧。
本教程按逻辑编排，自始至终用实例描述，既适用于初学者自学，也适用于高级MATLAB用户。可作为高等数学、数值分析、工程数学、数学建模、线性规划等课程的教学参考书，也可作为科技工作者学习和使用MATLAB的参考书，还可作为数学实验的教学用书，特别适合用作理工科大学生学习数学课程的教学辅导书。
本教程的光盘内容详尽、实例丰富：包含了MATLAB实例的源文件，函数/命令及注解，程序实例。

：MATLAB6.0数学手册
：蒲 俊 吉家锋 伊良忠
：海搏多媒体制作中心
：舒红梅
：浦东电子出版社
：上海浦东郭守敬路498号上海浦东软件园内 201203
电话：[phone]（发行部）
：各地新华书店、软件连锁店
：四川中外科技文化交流中心排版制作中心
：东方光盘制造有限公司
：成都地图出版社印刷厂
：787×1092毫米 16开本 19.5印张 240千字
：2002年1月第一版 2002年1月第一次印刷
：0001——8000册
：ISBN 7—900346—16—3
：33.00元（1CD配使用手册）

说明：凡我社光盘配套图书有缺页、倒页、脱页、自然破损，本社发行部负责调换。
前 言
MATLAB是美国MathWorks公司自20世纪80年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。到目前为止，其最高版本6.0版已经推出。随着版本的不断升级，它在数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。MATLAB已经发展成为多学科、多种工作平台的功能强大的大型软件。在欧美等高校，MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具，是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。
MATLAB的主要特点是：
Ÿ 有高性能数值计算的高级算法，特别适合矩阵代数领域；
Ÿ 有大量事先定义的数学函数，并且有很强的用户自定义函数的能力；
Ÿ 有强大的绘图功能以及具有教育、科学和艺术学的图解和可视化的二维、三维图；
Ÿ 基于HTML的完整的帮助功能；
Ÿ 适合个人应用的强有力的面向矩阵(向量)的高级程序设计语言；
Ÿ 与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力；
Ÿ 有在多个应用领域解决难题的工具箱。
本教程提供了使用MATLAB的实践性指导，它基于MATLAB6.0版，内容由浅入深，特别是本书对每一条命令的使用格式都作了详细而又简单明了的说明，并配备了例题加以说明其用法，因此，对于初学者自学是很有帮助的；同时，又对数学中的一些深入问题如数值分析、稀疏矩阵、优化理论以及模糊数学等问题进行了较为详细的论述，因此，该书也可作为科技工作者的科学计算工具书。
本教程的具体特点是：
Ÿ 它是以简明方法写就的一本易于掌握的数学手册；
Ÿ 编写逻辑性强，内容由浅入深，对于初学者能很快掌握MATLAB的用法；
Ÿ 易于查找命令和问题，给读者灵感与启迪，以解决实际问题；
Ÿ 对每一条命令，都进行了详细论述；
Ÿ 对于每一条命令，几乎都有易懂的实例；
Ÿ 内容按数学分类进行描述。
本教程的光盘内容详尽、实例丰富：包含了MATLAB实例的源文件，函数/命令及注解，程序实例。

目 录
目 录

3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6

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第1章 矩阵及其基本运算
第1章 矩阵及其基本运算
MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。
1.1 矩阵的表示
1.1.1 数值矩阵的生成
1．实数值矩阵输入
MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。
不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如：
>> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
Time =
11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]
X_Data =
2.43 3.43
4.37 5.98
>> vect_a = [1 2 3 4 5]
vect_a =
1 2 3 4 5
>> Matrix_B = [1 2 3；
>> 2 3 4；3 4 5]
Matrix_B = 1 2 3
2 3 4
3 4 5
>> Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
2．复数矩阵输入
复数矩阵有两种生成方式：
第一种方式
例1-1
>> a=2.7;b=13/25;
>> C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]
C=
1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544
0.7071 5.3000 4.5000
第2种方式
例1-2
>> R=[1 2 3;4 5 6], M=[11 12 13;14 15 16]
R =
1 2 3
4 5 6
M =
11 12 13
14 15 16
>> CN=R+i*M
CN =
1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i
4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i
1.1.2 符号矩阵的生成
在MATLAB中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式上很相像，只不过要用到符号矩阵定义函数sym，或者是用到符号定义函数syms，先定义一些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。
1．用命令sym定义矩阵：
这时的函数sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。如下例：
例1-3
>> sym_matrix = sym（'[a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!]，'）
sym_matrix =
[a b c]
[Jack Help Me! NO WAY!]
>> sym_digits = sym（'[1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan（z）]'）
sym_digits =
[1 2 3]
[a b c]
[sin（x）cos（y）tan（z）]
2．用命令syms定义矩阵
先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。
例1-4
>> syms a b c ；
>> M1 = sym（'Classical'）；
>> M2 = sym（' Jazz'）；
>> M3 = sym（'Blues'）
>> syms_matrix = [a b c； M1， M2， M3；int2str（[2 3 5]）]
syms_matrix =
[ a b c]
[Classical Jazz Blues]
[ 2 3 5]
把数值矩阵转化成相应的符号矩阵。
数值型和符号型在MATLAB中是不相同的，它们之间不能直接进行转化。MATLAB提供了一个将数值型转化成符号型的命令，即sym。
例1-5
>> Digit_Matrix = [1/3 sqrt（2） 3.4234；exp（0.23） log（29） 23^（-11.23）]
>> Syms_Matrix = sym（Digit_Matrix）
结果是：
Digit_Matrix =
0.3333 1.4142 3.4234
1.2586 3.3673 0.0000
Syms_Matrix =
[ 1/3， sqrt（2）， 17117/5000]
[5668230535726899*2^（-52），7582476122586655*2^（-51），5174709270083729*2^（-103）]
注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩阵转化成符号矩阵后，都将以最接近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。
1.1.3 大矩阵的生成
对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改：
例1-6 用M文件创建大矩阵，文件名为example.m
exm=[ 456 468 873 2 579 55
21 687 54 488 8 13
65 4567 88 98 21 5
456 68 4589 654 5 987
5488 10 9 6 33 77]
在MATLAB窗口输入：
>>example;
>>size(exm) %显示exm的大小
ans=
5 6 %表示exm有5行6列。
1.1.4 多维数组的创建
函数 cat
格式 A=cat(n,A1,A2,…,Am)
说明 n=1和n=2时分别构造[A1；A2]和[A1，A2]，都是二维数组，而n=3时可以构造出三维数组。
例1-7
>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2;
>> A4=cat(3,A1,A2,A3)
A4(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A4(:,:,2) =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A4(:,:,3) =
0 -2 -4
2 0 -2
4 2 0
或用另一种原始方式可以定义：
例1-8
>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2;
>> A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3
A5(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A5(:,:,2) =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A5(:,:,3) =
0 -2 -4
2 0 -2
4 2 0
1.1.5 特殊矩阵的生成
命令 全零阵
函数 zeros
格式 B = zeros(n) %生成n×n全零阵
B = zeros(m,n) %生成m×n全零阵
B = zeros([m n]) %生成m×n全零阵
B = zeros(d1,d2,d3…) %生成d1×d2×d3×…全零阵或数组
B = zeros([d1 d2 d3…]) %生成d1×d2×d3×…全零阵或数组
B = zeros(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全零阵
命令 单位阵
函数 eye
格式 Y = eye(n) %生成n×n单位阵
Y = eye(m,n) %生成m×n单位阵
Y = eye(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的单位阵
命令 全1阵
函数 ones
格式 Y = ones(n) %生成n×n全1阵
Y = ones(m,n) %生成m×n全1阵
Y = ones([m n]) %生成m×n全1阵
Y = ones(d1,d2,d3…) %生成d1×d2×d3×…全1阵或数组
Y = ones([d1 d2 d3…]) %生成d1×d2×d3×…全1阵或数组
Y = ones(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全1阵
命令 均匀分布随机矩阵
函数 rand
格式 Y = rand(n) %生成n×n随机矩阵，其元素在（0，1）内
Y = rand(m,n) %生成m×n随机矩阵
Y = rand([m n]) %生成m×n随机矩阵
Y = rand(m,n,p,…) %生成m×n×p×…随机矩阵或数组
Y = rand([m n p…]) %生成m×n×p×…随机矩阵或数组
Y = rand(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的随机矩阵
rand %无变量输入时只产生一个随机数
s = rand('state') %产生包括均匀发生器当前状态的35个元素的向量
rand('state', s) %使状态重置为s
rand('state', 0) %重置发生器到初始状态
rand('state', j) %对整数j重置发生器到第j个状态
rand('state', sum (100*clock)) %每次重置到不同状态
例1-9 产生一个3×4随机矩阵
>> R=rand(3,4)
R =
0.9501 0.4860 0.4565 0.4447
0.2311 0.8913 0.0185 0.6154
0.6068 0.7621 0.8214 0.7919
例1-10 产生一个在区间[10, 20]内均匀分布的4阶随机矩阵
>> a=10;b=20;
>> x=a+(b-a)*rand(4)
x =
19.2181 19.3547 10.5789 11.3889
17.3821 19.1690 13.5287 12.0277
11.7627 14.1027 18.1317 11.9872
14.0571 18.9365 10.0986 16.0379
命令 正态分布随机矩阵
函数 randn
格式 Y = randn(n) %生成n×n正态分布随机矩阵
Y = randn(m,n) %生成m×n正态分布随机矩阵
Y = randn([m n]) %生成m×n正态分布随机矩阵
Y = randn(m,n,p,…) %生成m×n×p×…正态分布随机矩阵或数组
Y = randn([m n p…]) %生成m×n×p×…正态分布随机矩阵或数组
Y = randn(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的正态分布随机矩阵
randn %无变量输入时只产生一个正态分布随机数
s = randn('state') %产生包括正态发生器当前状态的2个元素的向量
s = randn('state', s) %重置状态为s
s = randn('state', 0) %重置发生器为初始状态
s = randn('state', j) %对于整数j重置状态到第j状态
s = randn('state', sum(100*clock)) %每次重置到不同状态
例1-11 产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵
>> mu=0.6; sigma=0.1;
>> x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)
x =
0.8311 0.7799 0.1335 1.0565
0.7827 0.5192 0.5260 0.4890
0.6127 0.4806 0.6375 0.7971
0.8141 0.5064 0.6996 0.8527
命令 产生随机排列
函数 randperm
格式 p = randperm(n) %产生1～n之间整数的随机排列
例1-12
>> randperm(6)
ans =
3 2 1 5 4 6
命令 产生线性等分向量
函数 linspace
格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100个线性等分点
y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上产生n个线性等分点
命令 产生对数等分向量
函数 logspace
格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生50个对数等分向量
y = logspace(a,b,n)
y = logspace(a,pi)
命令 计算矩阵中元素个数
n = numel(a) %返回矩阵A的元素的个数
命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵
函数 blkdiag
格式 out = blkdiag(a,b,c,d,…) %产生以a,b,c,d,…为对角线元素的矩阵
例1-13
>> out = blkdiag(1,2,3,4)
out =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
命令 友矩阵
函数 compan
格式 A = compan(u) %u为多项式系统向量，A为友矩阵，A的第1行元素为 -u (2:n)/u(1)，其中u (2:n)为u的第2到第n个元素，A为特征值就是多项式的特征根。
例1-14 求多项式 的友矩阵和根
>> u=[1 0 -7 6];
>> A=compan(u) %求多项式的友矩阵
A =
0 7 -6
1 0 0
0 1 0
>> eig(A) %A的特征值就是多项式的根
ans =
-3.0000
2.0000
1.0000
命令 hadamard矩阵
函数 hadamard
格式 H = hadamard(n) %返回n阶hadamard矩阵
例1-15
>> h=hadamard(4)
h =
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
命令 Hankel方阵
函数 hankel
格式 H = hankelc) %第1列元素为c，反三角以下元素为0。
H = hankel(c,r) %第1列元素为c，最后一行元素为r，如果c的最后一个元素与r的第一个元素不同，交叉位置元素取为c的最后一个元素。
例1-16
>> c=1:3,r=7:10
c =
1 2 3
r =
7 8 9 10
>> h=hankel(c,r)
h =
1 2 3 8
2 3 8 9
3 8 9 10
命令 Hilbert矩阵

函数 hilb
格式 H = hilb(n) %返回n阶Hilbert矩阵，其元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。
例1-17 产生一个3阶Hilbert矩阵
>> format rat %以有理形式输出
>> H=hilb(3)
H =
1 1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
命令 逆Hilbert矩阵
函数 invhilb
格式 H = invhilb(n) %产生n阶逆Hilbert矩阵
命令 Magic(魔方)矩阵
函数 magic
格式 M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵
例1-18
>> M=magic(3)
M =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
命令 Pascal矩阵
函数 pascal
格式 A = pascal(n) %产生n阶Pascal矩阵，它是对称、正定矩阵，它的元素由Pascal三角组成，它的逆矩阵的所有元素都是整数。
A = pascal(n,1) %返回由下三角的Cholesky系数组成的Pascal矩阵
A = pascal(n,2) %返回Pascal(n,1)的转置和交换的形式
例1-19
>> A=pascal(4)
A =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
>> A=pascal(3,1)
A =
1 0 0
1 -1 0
1 -2 1
>> A=pascal(3,2)
A =
1 1 1
-2 -1 0
1 0 0
命令 托普利兹矩阵
函数 toeplitz
格式 T = toeplitz(c,r) %生成一个非对称的托普利兹矩阵，将c作为第1列，将r作为第1 行，其余元素与左上角相邻元素相等。
T = toeplitz(r) %用向量r生成一个对称的托普利兹矩阵
例1-20
>> c=[1 2 3 4 5];
>> r=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5];
>> T=toeplitz(c,r)
T
1 5/2 7/2 9/2 11/2
2 1 5/2 7/2 9/2
3 2 1 5/2 7/2
4 3 2 1 5/2
5 4 3 2 1
命令 Wilkinson特征值测试阵
函数 wilkinson
格式 W = wilkinson(n) %返回n阶Wilkinson特征值测试阵
例1-21
>> W=wilkinson(4)
W =
3/2 1 0 0
1 1/2 1 0
0 1 1/2 1
0 0 1 3/2
>> W=wilkinson(7)
W =
3 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 3
1.2 矩阵运算
1.2.1 加、减运算
运算符：“＋”和“－”分别为加、减运算符。
运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。
例1-22
>>A=[1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6]
>>B=[8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2]
>>A＋B=A+B
>>A-Ｂ=A-B
结果显示：A+B=
9 2 7
4 7 10
5 12 8
A－B=
-7 0 -5
-2 -3 -4
-3 -6 4
1.2.2 乘法
运算符：*
运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。
1．两个矩阵相乘
例1-23
>>X= [2 3 4 5;
1 2 2 1]；
>>Y=[0 1 1;
1 1 0;
0 0 1;
1 0 0]；
Z=X*Y
结果显示为：
Z=
8 5 6
3 3 3
2．矩阵的数乘：数乘矩阵
上例中：a=2*X
则显示：a =
4 6 8 10
2 4 4 2
向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。
数组乘法：
A.*B表示A与B对应元素相乘。
3．向量点积
函数 dot
格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。
C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积
例 >>X=[-1 0 2]；
>>Y=[-2 -1 1];
>>Z=dot(X, Y)
则显示：Z =
4
还可用另一种算法：
sum(X.*Y)
ans=
4
4．向量叉乘
在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在Matlab中，用函数cross实现。
函数 cross
格式 C = cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=A×B，A、B必须是3个元素的向量；若AB为矩阵，则返回一个3×n矩阵，其中的列是A与B对应列的叉积，A、B都是3×n矩阵。
C = cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积。A和B必须具有相同的维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3。
例1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。
>>a=[1 2 3];
>>b=[4 5 6];
>>c=cross(a,b)
结果显示：
c=
-3 6 -3
可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为±(-3, 6, -3)
5．混合积
混合积由以上两函数实现：
例1-25 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合积
解：
>>a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=[-3 6 -3];
>>x=dot(a, cross(b, c))
结果显示：x =
54
注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。
6．矩阵的卷积和多项式乘法
函数 conv
格式 w = conv(u,v) %u、v为向量，其长度可不相同。
说明 长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积(Convolution)定义为：式中：w向量序列的长度为(m+n-1)，当m=n时，
w(1) = u(1)*v(1)
w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)
w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1)
…
w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ … +u(n)*v(1)
…
w(2*n-1) = u(n)*v(n)
例1-26 展开多项式
解：>> w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))
w =
1 7 16 18 8
>> P=poly2str(w,'s') %将w表示成多项式
P =
s^4 + 7 s^3 + 16 s^2 + 18 s + 8
7．反褶积（解卷）和多项式除法运算
函数 deconv
格式 [q,r] = deconv(v,u) %多项式v除以多项式u，返回商多项式q和余多项式r。
注意：v、u、q、r都是按降幂排列的多项式系数向量。
例1-27 ，则其卷积为
>>u = [1 2 3 4]
>>v = [10 20 30]
>>c = conv(u,v)
c =
10 40 100 160 170 120
则反褶积为
>>[q,r] = deconv(c,u)
q =
10 20 30
r =
0 0 0 0 0 0
8．张量积
函数 kron
格式 C=kron (A,B) %A为m×n矩阵，B为p×q矩阵，则C为mp×nq矩阵。
说明 A与B的张量积定义为：AB与BA均为mp×nq矩阵，但一般地ABBA。
例1-28 求AB。
>> A=[1 2;3 4];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> C=kron(A,B)
C =
1 2 3 2 4 6
4 5 6 8 10 12
7 8 9 14 16 18
3 6 9 4 8 12
12 15 18 16 20 24
21 24 27 28 32 36
1.2.3 集合运算
1．两个集合的交集
函数 intersect
格式 c = intersect(a,b) %返回向量a、b的公共部分，即c= a∩b。
c = intersect(A,B,'rows') %A、B为相同列数的矩阵，返回元素相同的行。
[c,ia,ib] = intersect(a,b) %c为a、b的公共元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公共元素在b中位置。
例1-29
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
A =
1 2 3 4
1 2 4 6
6 7 1 4
>> B=[1 2 3 8;1 1 4