函数图象13.doc

函数的图象
1、图象变换
①平移变换：
（1）水平平移：的图象，可由的图象向左（＋）或向右（－）平移个单位而得到。
（2）竖直平移：的图象，可由的图象向上（＋）或向下（－）平移个单位而得到。
②对称变换：
⑴与关于轴对称
⑵与关于轴对称
⑶与关于原点对称
⑷与关于直线对称
⑸的图象可将的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴的上方，其余部分不变。
⑹的图象可将，的部分作出，在利用偶函数的图象关于轴的对称性，作出的图象。
③伸缩变换：
⑴的图象，可将图象上所有的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变。
⑵的图象，可将图象上所有的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变。
[例] 用语言叙述：①怎样由函数的图象，得到的和图象；②怎样由函数的图象，得到的图象
①由函数的图象得到的图象，只需将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来横坐标的。
由函数的图象得到图象，只需将图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来纵坐标的2倍。
②将的图象，以直线为轴作对称，得到函数的图象再关于轴对称的图象，即得到图象。

练习题：
1、 要得到的图像，需要将的图像进行如何平移？
2、 要得到的图像，只需要将的图像进行如何伸缩？
3、 将的图像如何平移得到的图像？
4、 将的图像如何平移得到的图像？
5、 将的图像如何平移得到的图像？
6、 画出下列函数的图像
（1） （2） （3） （4）
(5) (6) (7)
7、 已知函数的图像关于对称，那么函数的图像关于 对称
8、 已知函数的图像关于对称，那么函数的图像关于 对称
9、 已知函数是偶函数，那么函数的图像关于 对称
10、 已知函数的图像关于对称，那么函数的图像关于 _____对称
11、 已知函数是偶函数，那么函数的图像关于 对称。
12、设函数的图象与图象关于直线对称，则为
A、 B、
C、 D、
13、已知函数的图象过点（1，1），则的反函数的图象过点 。
14、函数f(x)在R上为增函数则y=f(|x|)的一个单调递减区间是_________.
15、函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.
16、已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为
A、α＜a＜b＜β B、α＜a＜β＜b C、a＜α＜b＜β D、a＜α＜β＜b
17、已知定义域为的函数是偶函数，并且在上为增函数，若，则的解集为
A、 B、 C、 D、
18、设是R上的偶函数，且在上是增函数，已知，那么
A、 B、
C、 D、大小不定

快速画出函数、不同时为零型的草图
⑴对于函数，其定义域为，值域为
⑵函数的图象是双曲线，此双曲线的两条渐近线分别是和（与定义域、值域有关），则双曲线分布在两渐近线的“对角”部分。
练习题：
1、函数的反函数的图象关于（ ）
A、直线对称 B、点对称
C、点对称 D、点对称

2、数形结合的思想方法
函数的图象可以直观显示函数的性质，函数的解析式可以量化研究函数的性质，数形结合思想则能将二者的长处有机的结合在一起。
⑴数形结合的思想方法不仅与求解函数类问题相关，还常用于求解不等式问题、讨论方程有无解或有多少个解的问题。
⑵运用数形结合方法解题的基本步骤是：构造函数模型，在直角坐标系中作出相应的函数图象，利用对函数特征的分析，结合数量关系求解。
例：若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围。
O

解：画出和的图象。当直线过点，即m＝时，两图象有两个交点如图所示。
1
又由

得。令，得m＝1。
所以当时，两图形有两个交点，方程有两个不等实根。
【点评】本题应用图象法求解，比较直观、运算量小，用图象法解题时，图象的交点坐标应通过方程组求解，用图象法求变量的取值范围时，要特别好注意端点值的取舍和特殊情形。
练习题：
1、如果函数是定义在R 上的偶函数，在（－，0]上是减函数，且则使得的x的取值范围是
A、（－，2） B、（2，＋）
C、（－，－2）（2，＋） D、（－2，2）
2、设函数，使得的自变量x 的取值范围为（ ）。
A、[1,] B、[,3] C、[1,3] D、（－ ，－1] [,3]
3、若，则下列各式中正确的是（ ）
A B
C D
4、定义在R的函数满足＝，当时，＝，则
A、 B、
C、 D、
5、设表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中的较小者，则函数的最大值是_____
6、解不等式（1）；（2）。
7、方程有两个不相等的实数根，则实数K的取值范围_____。
8、关于x的方程的解的个数是_________。
9、关于x的方程 （ ）
A 仅当时有唯一解 B 仅当时有唯一解
C 必有唯一解 D 必无解
10、求方程的根的个数。
3、图象创新题的解题策略
几种常用方法：定性法、定量法、用模型函数法、转换法等。
V
[例1] 向高为H的水瓶注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）

O
H
h

A B C D
【解法1】（定性判断）从函数单调性考虑，观察函数图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A、C、D都不具备此特性。也就是由函数图象可知，随高度h增加，体积V也增加，并且随单位高度增加，选项A的体积V的增加量变大；选项B的体积V的增加量变小；选项C的体积V的增加量先变小后变大；选择D的体积V增加量不变，故选B。
【解法2】（定量判断）只要取，
由图象可知（V0为水瓶容水容量），立即排除A、C、D，从而选B。
x
2
1
O
[例2] 已知函数的图象如图所示，则（ ）

A、 B、 C、 D、
解法一：（定性法）根据解一元高次不等式的“数轴标根法”可知，图象从右上端起，应有，又由图象知方程的三个实根为非负数。
据韦达定理，知，即，应选A
解法二：（定量法）据图象知，得到

解得

当时，有，所以，应选A
解法三：（用模型函数法）通过观察的图象，可以联想到二次函数的零点式
于是，可以用以上模型函数的零点表示，类似设出三次函数的解析式为

比较同次项系数，得
又据图象当时，有，即所以，应选A
练习题：
O
y
x
y
x
O
y
x
O
O
x
1、给出四个函数，分别满足①；②；③；④；又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是（ ）
y

甲 乙 丙 丁
A、①－甲，②－乙，③－丙，④－丁
B、①－乙，②－丙，③－甲，④－丁
C、①－丙，②－甲，③－乙，④－丁
D、①－丁，②－甲，③－乙，④－丙
2、关于x的方程恰有三个不相等的实数根，则实数a 的值为_____。
3、如图，A、B、C为函数的图象上的三点，它们的横坐标分别是。①设ABC的面积为S，求；②判断函数的单调性；③求的最大值。