高数1.1教案.doc

第一章：函数与极限
教学目的 1。正确理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；
2． 正确理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；
4． 掌握基本初等函数的性质及其图形。
教学重点 分段函数，复合函数，初等函数。
教学难点 有界性，初等函数的判断。
教学内容：
前言
名称：高等数学
教学过程一学年
主要内容：一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程。
教学目的：掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，辩证的思想方法，培养学生的空间想象能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。为学生进一步学习数学打下一定的基础，还要为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。

第一节：映射与函数
一、集合
1、 集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素
表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素
1)
2)
元素与集合的关系：
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N，Z，Q，R，N+
元素与集合的关系： A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作
若作且则称A是B的真子集。
空集：
2、 集合的运算
并集 ：
交集 ：
差集 ：
全集I 、E 补集：
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律、
结合律、

分配律

对偶律 (
笛卡儿积A×B
3、 区间和邻域
开区间 闭区间 半开半闭区间 有限、无限区间
邻域： a 邻域的中心 邻域的半径
去心邻域 左、右邻域
二、映射
1. 映射概念
定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作

其中 称为元素的像，并记作，即
注意：1）集合X；集合Y；对应法则
2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一
3) 单射、满射、双射
2、 映射、复合映射
三、函数
1、 函数的概念：
定义：设数集，则称映射为定义在D上的函数 记为
自变量、因变量、定义域、值域、函数值
用、、
函数相等：定义域、对应法则相等
自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.
例：１) ｙ＝２
2) ｙ＝
3) 符号函数

4) 取整函数 （阶梯曲线）
5) 分段函数
2、 函数的几种特性
1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界)
有界的充要条件：既有上界又有下界。
注：不同函数、不同定义域，有界性变化。
2) 函数的单调性 （单增、单减）在x1、x2点比较函数值
与的大小（注：与区间有关）
3) 函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)
图形特点 (关于原点、Y轴对称)
4)函数的周期性(定义域中成立：)
3、 反函数与复合函数
反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数
函数与反函数的图像关于对称
复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。(注意：构成条件)
4、 函数的运算
和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)
5、 初等函数：
1) 幂函数： 2)指数函数：
3) 对数函数
4)三角函数

5) 反三角函数
，

以上五种函数为基本初等函数
6) 双曲函数

注：双曲函数的单调性、奇偶性。
双曲函数公式

反双曲函数：