立体几何-(5).doc

立体几何一 选择题1【2014北京（理）真题8】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关【答案】D2【2014北京（理）真题7】在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A B且 C且 D且【答案】D3【2012北京（理）真题7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A） (B) （C） （D） 【答案】B4【2011北京（理）真题7】某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）来源:学_科_网 A. B. C. D. 【答案】C5(2014年西城一模理科)如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ C ）（A） 4个 （B）6个 （C）10个 （D）14个6 (2014年丰台一模理科)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（B）（A） （B）4 （C） （D）3主视图左视图俯视图7 (2014年石景山一模理科)右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（B ）A B C D8(2014年延庆一模理科)右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)A B C D二 填空题1【2013北京（理）真题14】.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .【答案】2 (2014年西城一模理科)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是_. 3 (2014年海淀一模理科)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为_96_4 (2014年朝阳一模理科)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为_，表面积为_）5 (2014年朝阳一模理科)如图，在四棱锥中，底面底面为梯形，若点是线段上的动点，则满足的点的个数是_2_1正视图侧视图俯视图111三 解答题1【2014北京（理）真题17】.（本小题14分） 如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥 中，为棱的中点，平面与棱分别交于点. （1）求证：； （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并 求线段的长.（1） 【答案】证明：（2） 如图建立空间坐标系，各点坐标如下：设的法向量为，,，即，令得：又，直线与平面所成角为设,由则又,，2【2013北京（理）真题17】. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面ABC；（）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.【答案】 解：（）因为，所以xzy因为，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以平面 （）由（）知， 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以D如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即令z=3，则x=0，y=4，所以同理可得平面的法向量为所以由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 （）设点D是直线BC1上一点，且所以解得所以由，即，解得因为，所以在线段BC1上存在点D，使得此时3【2012北京（理）真题16】（本小题共14分）如图，在中，、分别为、上的点，且/，将沿折起到的位置，使，如图（）求证：平面；（）若是的中点，求与平面所成角的大小；（）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面（2）如图建系，则，,设平面法向量为则 又 与平面所成角的大小（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为则假设平面与平面垂直则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直4【2011北京（理）真题16】（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.【答案】证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（）由（）知设P（0，t）（t0），则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=5 (2014年东城一模理科)吧 A B A1 B1D CED1 C16 (2014年西城一模理科)如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，.（）求证：；（）求证：/ 平面；（）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.（）证明：因为底面和侧面是矩形，所以 ，又因为 ，所以 平面， 2分因为 平面， 所以 . 4分（）证明：因为 ，所以四边形是平行四边形. 连接交于点，连接，则为的中点. 在中，因为，所以 .6分A B A1 B1D CED1 C1zyxFG又因为 平面，平面，所以 平面. 8分（）解：由（）可知， 又因为 ， 所以 平面. 9分设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设，则.设平面法向量为，因为 ，由 得令，得. 11分设平面法向量为，因为 ，由 得令，得.12分由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得 ， 13分解得. 14分7 (2014年海淀一模理科) 如图1，在RtABC中，ACB=30，ABC=90，D为AC中点，于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示（）求证：AE平面BCD；（）求二面角ADC B的余弦值EBCADF（）在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由（）因为平面平面，交线为，又在中，于，平面所以平面3分（）由（）结论平面可得由题意可知，又如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系4分不妨设，则由图1条件计算得，则5分由平面可知平面DCB的法向量为6分设平面的法向量为，则即令，则，所以8分平面DCB的法向量为所以，所以二面角的余弦值为9分（）设，其中由于，所以，其中10分所以11分由，即12分 解得13分所以在线段上存在点使，且14分8 (2014年朝阳一模理科)如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面为等腰直角三角形，且，分别为底边和侧棱的中点AEBCDPF（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（）证明：取的中点，连接，因为，分别是，的中点，所以是的中位线AEBCDPFyAxAzA所以，且又因为是的中点，且底面为正方形，所以，且所以，且所以四边形是平行四边形所以又平面，平面，所以平面4分（）证明：因为平面平面，且平面平面，所以平面所以，又因为为正方形，所以，所以两两垂直以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系（如图）由题意易知，设，则，因为，且，所以，又因为，相交于，所以平面 9分（）易得，设平面的法向量为，则所以即令，则由（）可知平面的法向量是，所以由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为14分9 (2014年丰台一模理科)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.（）求证：DA1ED1 ；（）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求的值；（）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0）， B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0m1）（）证明：， 所以DA1ED1. -4分（）设平面CED1的一个法向量为,则 ，而， 所以取z=1,得y=1,x=1-m， 得. 因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以 所以，所以，解得m=.-11分（）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处.-14分10(2014年石景山一模理科)如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由（）证明：连结交于，连结，因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形，所以为的中点因为是的中点，所以是三角形的中位线，2分所以3分因为平面，平面，所以平面4分（）解：作于，所以平面，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系因为，是的中点所以，5分所以，设是平面的法向量，所以即令，则，所以是平面的一个法向量6分由题意可知是平面的一个法向量，7分所以8分所以二面角的大小为9分（）设，则，设平面的法向量，所以即令，则，12分又，即，解得，所以存在点，使得平面平面且14分11 (2014年顺义一模理科) 如图在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，为的中点，是棱上一点，且.（）求证：平面； （）证明：平面（）求二面角的度数.结，底面是菱形，且，是等边三角形，由（）平面.以为坐标原点，分别为轴轴轴建立空间直角坐标系则.10分设平面的法向量为，注意到，解得是平面的一个法向量12分12 (2014年延庆一模理科) 在四棱锥中，平面，FABEPDC底面是正方形，且，分别是棱的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小（）证明：设是的中点，连接分别是的中点，是平行四边形，2分平面平面，平面3分（），4分，又，平面，6分与相交，平面，平面7分（）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，8分，设是的中点，连接平面，同理可证平面，是平面的法向量，9分，设平面的法向量，则令，则12分13分二面角的大小为14分