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第五节 数论函数
定义在整数集合上的函数，称为数论函数，或算术函数。例如，函数
y = x2，y = sinx，y = ex
都可称为数论函数。但是，通常在使用数论函数这个词时，仅指那些只在整数集合或正整数集合上有定义的函数，或者只与数论研究有特殊关系的函数，例如，在前面所遇到过的欧拉函数j(n)，整数部分函数[x]。本节中还要介绍几个数论函数。
定义1 设f(n)是定义在整数集合A上的函数，若
f(mn) = f(m)f(n) (1)
对所有的整数m, nÎA，(m, n) = 1成立，则称f(n)是A上的积性函数，或者，在不引起误会的情况下，简称为积性函数。
如果式(1)对于A中的任何m，n都成立，则称f(n)是A上的完全积性函数，简称为完全积性函数。
以下，我们总假定A是由全体正整数所成的集合，即A = N。
例1 函数j(n)是积性函数，但不是完全积性函数。事实上，由第三节定理4我们知道j(n)是积性函数。由
2 = j(4) ¹ j(2)j(2) = 1
可知j(n)不是完全积性函数。
例2 以d(n)表示正整数n的正约数的个数，则d(n)是积性函数，但不是完全积性函数。
例3 函数
m(n) =，
是积性函数，但不是完全积性函数。事实上，容易看出m(n)是积性函数。由
1 = m(2)m2) ¹ m(4) = 0
可知m(n)不是完全积性函数。
定理1 设函数f(n)是不恒等于零的数论函数，则f(n)是积性函数的充要条件是：f(1) = 1并且对任意的nÎN，n > 1，有
， (2)
其中n =是n的标准分解式。
证明 必要性 若f(n)是不恒等于零的积性函数，则有某个n0ÎN，使得f(n0) ¹ 0，于是有f(n0) = f(1)f(n0)，所以f(1) = 1。由积性函数的性质可知式(2)成立。
充分性 设mÎN，nÎN，(m, n) = 1。若m与n中有一个是1，则由f(1) = 1易知式(1)成立。若m > 1，n > 1，设m与n的标准分解式分别是
，
其中pi（1 £ i £ k）与qj（1 £ j £ r）是互不相同的素数，则由式(2)得到

即f(n)是积性函数。证毕。
定理2 设函数f(n)是不恒为零的数论函数，则f(n)是完全积性函数的充要条件是：f(1) = 1并且对任意的nÎN，n > 1，有
，
其中n =是n的标准分解式。
证明 留作习题。
定义2 设f(n)是数论函数，称函数
F(n) =，nÎN (3)
是f(n)的Mobius变换，f(n)是F(n)的Mobius逆变换，其中表示对n的所有正约数d求和。
例如，取f(n) = 1，则F(n) = = d(n)；取f(n) = n，则F(n) =是n的所有正约数d之和，通常记为s(n)。
以下，我们用表示正整数n的标准分解式。
定理3 (ⅰ) 设F(n)是f(n)的Mobius变换，则
F(n) =；
(ⅱ) 设F(n)是积性函数f(n)的Mobius变换，则
，
从而F(n)也是积性函数。
证明 因为n的正约数具有
（0 £ i1 £ a1, 0 £ i2 £ a2, L, 0 £ ik £ ak）
的形式，所以结论(ⅰ)成立。由结论(ⅰ)与定理1推出结论(ⅱ)。证毕。
引理1 对任意的正整数n，有
。
证明 m(n)是积性函数，因此由m(n)的定义及定理3得到

其中pa||n表示pa½n，同时pa + 1n。由上式即可得出引理结论。证毕。
定理4 设f(n)是数论函数，则式(3)与下式是等价的：
f(n) =，nÎN。 (4)
证明 若式(3)成立，则

由引理1，我们知道上式右端等于f(n)，即式(4)成立。
若式(4)成立，则

在第二个和式中，令d = mk，则上式成为

证毕。
例4 对于正整数n，若它的标准分解式是n =，定义
；
与
。
则w(n)与W(n)满足下面的等式：
w(mn) = w(m) +w(n)，(m, n) = 1，m nÎN，
W(mn) = W(m) +W(n)， m, nÎN。
例5 数论函数n(n) = (-1)w(n)是积性函数，数论函数l(n) = (-1)W(n)是完全积性函数。
例6 对于正整数n。以s(n)表示n的所有正约数之和，即
s(n) =。
若n的标准分解式是n =，则
s(n) =。 (5)
解 由定理3，s(n)是积性函数，并且
s(n) =。 (6)
对于固定的pa，有
。
由此及式(6)得到式(5)。
例7 求的Mobius变换。
解 设n的标准分解式是n =,则由m(n)的定义及定理3，得到

习 题 五
1. 证明例2中的结论。
2. 证明定理2。
3. 求。
4. 设f(n)是积性函数，证明：
(ⅰ)
(ⅱ) 。
5. 求j(n)的Mobius变换。

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