2014届天津一中高三下学期四月考文科数学试题及答案.doc

天津一中2013-2014学年高三年级四月考
数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 设集合则A等于（ ）
A． {1,2,5} B．{l, 2，4, 5} C．{1，4, 5} D．{1，2，4}

2．设动点满足，则的最大值是（ ）
A. 50 B. 60 C. 70 D. 100

3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

4. 下列命题中正确的是( )
A.命题“，”的否定是“”
B.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件
C.若“，则”的否命题为真
D.若实数，则满足的概率为.
5. 已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于( )
A． B． C． D．

6. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A. B. C. D.

7. 已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．

8. 已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．[-4，0] D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. 是虚数单位，复数的值是_______________________
10. 在锐角△中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则△的面积为 ________________

11. 直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则____________________

12. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ____________

13. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长是_________________

14. 若实数的最大值是 _____
三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）
15． 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

16．已知函数，直线是函数的图像的任意两条对称轴，且的最小值为.
（I）求的值； （II）求函数的单调增区间；
（III）若，求的值.

17. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小

18．已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前n项和.

19．已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值； ②若点，求证：为定值．

20．设函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调性
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数
(Ⅲ)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.

四月考答案
1．设集合则A等于（ ）
A． {1,2,5} B．{l, 2，4, 5} C．{1，4, 5} D．{1，2，4}
【答案】B
【解析】当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选B.

2．设动点满足，则的最大值是（ ）
A. 50 B. 60 C. 70 D. 100
【答案】D

3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B

4．下列命题中正确的是( )
A.命题“，”的否定是“”
B.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件
C.若“，则”的否命题为真
D.若实数，则满足的概率为.
【答案】C

5. 已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为,半径，双曲线的渐近线为，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，所以，，即，所以，选A.

6．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A. B. C. D.
【答案】C

7．已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
8．已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．[-4，0] D．

【答案】B

9．是虚数单位，复数的值是_________________
【答案】

10．在锐角△中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则△的面积为 ．
【答案】

11. 直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则__________

【答案】

12．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．

【答案】

13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长是_________.

【解析】由图知DE·DF=BD·CD=1，同理EG·FG=1.又DG=AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，∴
答案:
14．若实数的最大值是

【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.
【解析】∵=≥，∴≥4，
又∵=，∴=，∴=≥4，即≥4，即≥0，∴≤，∴≤=，∴的最大值为.
【答案】
15．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:×6=3; 第4组:×6=2; 第5组:×6=1.
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分
(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),
(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为…………13分

16．已知函数，直线是函数的图像的任意两条对称轴，且的最小值为.
（I）求的值； （II）求函数的单调增区间；

（III）若，求的值.
【答案】

17． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线，∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA // 平面EDB

（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴ ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而平面PDC，∴ ②
由①和②推得平面PBC
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角
由（2）知，
设正方形ABCD的边长为a，则
，

在中，
在中，，∴
所以，二面角C—PB—D的大小为

18．已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前n项和.

【答案】解（1）由题意知 ………………1分
当时，
当时，
两式相减得………………3分
整理得： ……………………4分
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.
……………………5分

∴，……………………6分

①
②
①-②得 ………………9分

.………………………………………………………11分
…………………………………………………………………13分

19. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．
【答案】解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分
。解得，则椭圆方程为 ……………4分
（Ⅱ）（1）将代入中得
……………………………………………………6分

………………………………………… …………………7分
因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分
（2）由（1）知，
所以 ……………11分

………………………………………12分

20．设函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调性
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数
(Ⅲ)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
【解】(Ⅰ),,
①,函数在上单调递增
②,,函数的单调递增区间为
,函数的单调递减区间为
(Ⅱ)存在,使得成立
等价于:,
考察, ,

递减
极(最)小值
递增

由上表可知:,
,
所以满足条件的最大整数;

(Ⅲ)当时,恒成立
等价于恒成立,
记,所以
, .
记,,
即函数在区间上递增,
记,,
即函数在区间上递减,
取到极大值也是最大值
所以
另解,,
由于,,
所以在上递减,
当时,,时,,
即函数在区间上递增,
在区间上递减,
所以,所以
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