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气态方程及其应用

科研处 吕学文

掌握气体三定律是学好气态方程知识的关键，熟练、准确地运用基本定律和气态方程解决有关问题，则是学好气态方程知识的目标。本文着重谈谈有关气态方程的几个问题。
一、理想气体的状态方程。
1．理想气体。
理想气体（分子间没有相互作用力，分子可以看成没有体积的质点）是一种假定的物理模型，认为它能严格遵守气体三定律，真实气体在常温、常压下可作为理想气体。
2．一定质量的理想气体状态方程。
气态方程是一定质量的理想气体温度、体积、压强这三个状态参量变化时所遵循的规律。即PV／T＝ 恒量。气体的三个实验定律是它的特例。只要理想气体质量不变，有关的气体热学性质的问题均可以应用气体状态方程求解。
3．克拉珀龙方程。
克拉珀龙方程式是研究在某一状态下P、V、T、m、μ这几个量之间关系的方程。即
PV= mRT／μ（式m中为某种理想气体的质量，μ为该种气体的摩尔质量）
当P用“大气压”，V用“升”做单位时，R=0．082大气压·升/摩尔·开；当P、V用国际单位（帕斯卡、米3）时，R=8．31焦耳/摩尔·开。
只要温度不太低，压强不太大，克拉珀龙方程对一切任意质量的理想气体都适用。
二、应用气态方程解题的要点。
1.明确研究对象。解题时，首先要明确所研究的是那一部分气体，按照题意，对所研究的对象画出示意图。
2.确定状态参量。当所要研究的对象从一个状态变化到另一个状态时，要注意正确确定前后状态的参量（P、V、T）
3.选准方程。要根据题目的性质和要求，选用恰当的气态方程。一般可把题目分成三大类：第一类是按气体的质量是否改变来分。解变质量的题目时，选用克拉珀龙方程解题比较简便；解定质量问题时，则多采用一般方程。第二类是从所研究的对象是处于某一确定状态还是处于前后两种不同状态来分。解处于某一状态的题目时，应选用克拉珀龙方程；解处于前后两个状态的题目时，通常多采用一般气态方程。第三类是综合题目，解这类题目时，应分别确定研究对象，综合运用所学的知识进行求解。
4.同一单位。当用PV= mRT／μ解题时， P、V、T的单位要跟所采用的R的单位一致；当用 P1V1／T1＝P2V2／T2 解题时，除了T必须用绝对温度外，P、V单位可任意选取，但公式两边的单位要对应统一，即P1与P2；V1与V2单位要相同。
5.注意验证。要根据所得的结果是否切合实际，是否合理等情况来决定取舍，必要时还要对答案进行讨论。
三、典型问题分类导解
1.定质量问题。
只要理想气体的质量恒定，则有关气体热学性质的问题均可用气态方程求解。

［例1］由一端开口之玻璃管长1米，内装水银，水银高20厘米，当玻璃光水平放置时，水银恰好在管正
中。试求当管口向上且与水平线成300
角时，密闭气体的体积、压强各为多
少？（大气压P0＝76厘米水银柱高）
解：当管口向上且倾角成300时，
水银柱作用在管内气体的压强为20sin300
厘米水银柱高。此时气体受到的压强为
P2＝（76＋10）厘米水银柱高。
由玻－马定律P0V0＝P2V2得
V2＝ P0V0／P2 ＝35.3(cm)
评注：1.因为管子的内径相同，故用管内气体的长度表示其体积，这样处理，可使解题过程大大简化。2.管子水平放置时管内气体的长度为50－ 20／2 ＝40厘米，这也是解好本题的关键。
2.变质量问题。
在处理象“充气”、“排气”、“漏气”等变质量问题时，应先把它转化为定质量问题，然后再用气态方程求解；或者直接用克拉珀龙方程求解。
［例2］要用活塞抽气机将容积为V的容器内的气体，由压强P0抽到压强P，如果活塞的进程的容积为U。求活塞来回进行的次数n，无效空间可以忽略布计，抽气过程温度不变。
解：设抽气一次后，V内的气体压强由原来的P0降为P1，则由玻－马定律得：
P0V＝P1（V＋U） ①
第二次抽气后，V内气体压强由第一次抽气后的P1降为P2，
则 P1V＝P2（V＋U） ②
依此类推有 P2V＝P3（V+U ③
……
Pn -1V＝P（U+V） （n）
把以上n式相乘得：
P0 P1 P2 …P n -1 V n = P1 P2 …Pn -1 P (V+U) n
即 P0/P ＝[（ V+U） ／V]n
两边取对数得lg P0/P ＝ n lg （ V+U） ／V

lg P0/P
――――――――――
所以 n ＝

lg （ V+U） /V

评注：1正确选择研究对象，合理处理，可将变质量问题转化为定质量问题如本题应用了“空间填充法”。即将V内的一部分气体填充到抽气机中去。2本题还有多种解法。当遇到一题多解的题目时，应当认真审题和分析，从而确定出最佳解法。
3.图像问题。
由于物理规律不仅能用数学公式表示，而且也能用函数图象表示。所以我们也可以利用V－T、P－T、和P－V等图像来研究理想气体的状态变化。

［例3］使一定质量的理想气体的状态按图中箭头所示的顺序变化，图线BC是一按以
纵轴和横轴为渐进
线的双曲线。①已
知气体在状态A的
温度TA＝300K，
求气体在状态B、
C和D的温度各
是多少？②将上述
状态变化过程在另
一图中画成用体积
V和温度T表示的
图线图中要标明A、B、C、D四点，并且要画箭头表示变化方向），说明每段图线表示什么过程。
解：①由P－V图像可知，气体A、B、C、D各状态下的压强和体积分别为PA＝4大气压，VA＝10升；PB＝4个大气压，VB＝？；PC=2个大气压，VC=40升；PD＝2个大气压，VD＝20升。已知TA＝300K，设气体在C、D状态的温度分别为TC、TD 。根据气态方程 PV／T ＝恒量。

则有 PAVA／TA＝PCVC／TC＝PDVD／TD
解得 TC＝600K，TD＝300K
因为图线BC是等温线，所以
TB = TC =600K且有
PB VB=PC VC, VB＝ PC VC／PB
＝2×40／4 ＝20（升）
②根据A、B、C、D各状态的V、T值
T(k)（（（（
分别在V－T坐标平面上画出相应的点，再
把这些点连接起来，作出V－T图像。图中
箭头表示变化方向。
由图可以看出：AB段图线表示等压过程，BC段图线表示等温过程，CD段图线表示等压过程。
评注：
1. 弄清P－V、P－T、和V－T图像的物理意义及其特点，这是解题的关键。
2. 理想气体的状态可以用P－V图像或者P－T、V－T图像中的点来表示，即一个状态与图像中的一个点对应。
4.综合题。
这类题目除包含气体的热学性质问题外，一般还将涉及到其他方面的问题。这就要求在解题时，一定要综合运用所学的知识，结合题意，认真分析，只有这样才可能做到正确的解答。

［例4］如图，可沿缸壁自由滑动的活塞将圆筒型气缸分隔成A、B两部分，气缸的底部通过装有阀门K
的细管与一密闭容器C相连，活塞
与气缸的顶部间连有一弹簧，当活塞
位于气缸底部时，弹簧恰好无形变。
开始时，B内充有一定量的气体，
A、C内为真空，B部分的高 L1＝0.1
米，B与C容积正好相等，此时弹簧对
活塞的作用力正好等于活塞的重量，现
将阀门打开，并将整个装置倒置，当达到新的平衡时，B部分的高度L2 等于多少？（1986年上海市高考试题）
解：设弹簧的压强系数为K。选取原有质量的气体作研究对象，可视为定质量气态变化问题。根据胡克定律和力平衡原理，则有：阀门打开前P1S＝mg+k L1 ；阀门打开及倒置后（如图）P2S=k L2—mg。
那么气体的初态：

P1= （ mg+k L1 ）／S ，

V1＝L1 S 。

气体的末态：P2＝ （ k L2—mg）／S

V2 = VB + V C= L2S+ L1S

由玻－马定律得P 1V1＝P 2V2 即
{（ mg+k L1 ）／S } L1S ＝｛（ k L2--mg）／S ｝×（ L2＋ L1）S (1)
由题意给定的起始条件，有
mg=k L1 ( 2)
由（1）、（2）式解得 L2＝√3 L1＝0.17米
评注：
1. 运用虎克定律和力平衡的原理，确定气体的压强是解题的关键。
2. 认真审题，找出隐含条件列出辅助方程mg=k L1，才能作出正确的解答。
3. 此题还可用其它方法求解，请读者试一试。

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