陕西省西安市2013届高三数学上学期第四次适应性训练(期末)试题-文-北师大版.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练数学（文科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设全集集合集合，则=( )
A. B. C. D.

2．设复数(其中为虚数单位)，则z的共轭复数等于( )
A．1+ B． C． D．

3．已知条件p：，条件q：，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

4．如右图的程序框图所示，若输入，则输出的值是( )
A. B.1 C. D. 2

5．若抛物线上一点到轴的距离为3，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7

6．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知是单位向量，且夹角为60°，则等于（ ）
A．1 B． C．3 D．

8．已知函数对任意，有，且当时，，则函数的大致图象为（ ）

9．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．

10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )
A． B． C．1 D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）
11．若函数的图象在处的切线方程是，则 .

12．若椭圆的短轴为，它的一个焦点为则满足为等边三角形的椭圆的离心率是 ．

13．已知变量满足约束条件，则的最大值为 ；
14．若则 ；

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 ；

B（选修4—5不等式选讲）已知则的最大值是 .；

C(选修4—1几何证明选讲）如图，内接于，，直线切于点C，交于点.若则的长为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
. k#s5_u.c
（Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w

17．（本小题满分12分）在中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且满足，．
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）若，求边与的值．

18．（本小题满分12分）各项均为正数的等比数列中，．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，求数列的前项和．

19．（本小题满分12分）已知是矩形，，分别是线段的中点，平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱上找一点，使∥平面，并说明理由．

20.（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，判断方程在区间上有无实根.
（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

21.(本题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率，且点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知、为椭圆上的动点,当时,求证:直线恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数学（文科）参考答案与评分标准
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
B
C
C
C
A
D

二、填空题:
11．3 12． 13．11 14．
15．A； B．； C．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
【解】：在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。
故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人. ……4分
（2）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为，若从5人中任取2名观众记作，……6分
则包含的总的基本事件有：共10个。…8分
其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：共6个. ……10分
故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=； ……12分

17. （本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）由正弦定理得，……2分
，，，……6分
由得，的面积为．……8分
（Ⅱ）因，故，……10分
由余弦定理得 ……12分

18．（本小题满分12分）由条件知……………………2分
………… 4分
（2）设数列公差为，则，…………6分

……………………8分
……………………10分
……………………12分

19.（本小题满分12分）
【解】：证明：在矩形ABCD中，因为AD=2AB,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°．
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD． ……………………4分
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD．所以FD⊥平面PAF． ……………………6分
（Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,
则EH//平面PFD,且 AH =AD．
再过H作HG//PD交PA于G, ……………………9分
所以GH//平面PFD,且 AG=PA．
所以平面EHG//平面PFD． ……………………11分
所以EG//平面PFD．
从而点G满足AG=PA． ……………………12分

20.（本小题满分13分）
【解】：（1）时，，，切点坐标为，
切线方程为 …………………… 3分
（2）时，令，
，在上为增函数…………………… 5分
又，所以在内无实数根 ……………………7分
（3）恒成立， 即恒成立，
又，则当时，恒成立，……………………9分
令，只需小于的最小值，
，…………………… 11分
， ， 当时，
在上单调递减，在的最小值为，
则的取值范围是 ……………………13分

21．（本小题满分14分）
【解】：(1)椭圆C的方程是:…………………………4分
(2) 当直线l不垂直于x轴时,设：
　得 ………………………6分

…………………… 8分
　即　……………10分
当时，恒过定点
当时，恒过定点，不符合题意舍去… 12分
当直线l垂直于x轴时，若直线AB：　　则AB与椭圆Ｃ相交于，，，满足题意
综上可知，直线恒过定点，且定点坐标为……………… 14分