一元二次方程的解法(配方法)教学设计.doc

一元二次方程的解法（配方法）教学设计 
一、教材版本：义务教育课程标准实验教科书数学（华师大版）九年级上册第二十三章第二节
二、教材结构与内容分析：
本节内容是初中数学九年级上册教材第二十三章第二节。在此之前，学生已经学习了一元二次方程的直接开平方法和完全平方公式，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。配方法虽然不是解一元二次方程的主要方法，但是通过配方法可以推导出公式法的求根公式，并且是今后运用配方的思想解决一些数学问题的基础。所以，本节内容在教材中起到承前启后的作用，在整个初中的数学学习都起到至关重要的作用。
三、教学目标：
（一）知识与技能目标：
   1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。
   2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。
（二）过程与方法目标：
   1、理解配方法的思想方法。
   2、体会转化的数学思想方法。
（三）情感与态度目标：
1、通过师生的共同活动，培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神。
2、在探索中寻求解决问题的方法和途径，从而不断拓展数学思维。
四、教学重点、难点：
重点：利用配方法解简单的一元二次方程。
难点：通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。
关键：如何把x2+bx配成一个关于x 的完全平方式。
五、教法：
根据教学内容的特点及学生的年龄心理特征及已有的知识水平，本节课采用问题教学和对比教学法，用“创设情境——建立数学模型——巩固与运用——反思、拓展”来展示教学活动。
六、学法：
本节课要求学生多观察，勤思考，从而帮助学生形成分析、对比和归纳的思想方法，在对比学习中，提高学生利用已有的知识去主动获取新知识的能力，让学生真正成为学习的主体。
七、教学过程
教学过程
教学内容
学生活动
教学说明
（一）   创设情境，设疑引新
在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决。例如：
【请你帮帮忙】小明用一段长为20米的竹篱笆围成一个矩形，怎样设计才可以使得该矩形的面积为9米2？
（二）   复习旧知
练习：用直接开平方法解下列方程
（1）9x2=4 (2)( x+3)2=0
总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。
（三）   尝试指导，学习新知
1、  提问：这样的方程你能解吗？
x2＋6x＋9＝0      ①

2、提问：这样的方程你能解吗？
x2＋6x＋4＝0        ②
思考：方程②与方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？

【归纳】配方法：
通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配方法。
配方法的依据：完全平方公式。

(四)合作讨论，自主探究
下面我们研究对于一般的一元二次方程怎样配方。
1、  配方训练
课本87页练习第一题。
补充：x2+mx＋(   )＝[x+(      )]2

2、将下列方程化为（x+m）2=n
(n≥0)的形式。
（1）x2－4x＋3＝0
（2）x2＋3x－1＝0
然后进一步指导学生用配方法解以上两个方程。

3、巩固提高：课本87页练习第二题。
（五）总结、拓展
【总结】
1、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本思路：先将方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后两边开平方就可以得到方程的解。
2、  用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤
（1）       移项（常数项移到方程右边）
（2）       配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）
（3）       开平方
（4）       解出方程的根
思考：为什么配方的过程中，方程的两边都加上一次项系数的一半的平方？
点拨：用图形直观地表示。（如课本86页例题）

3、  帮助小明解决问题。

4、【变式题】解方程（x+1）(x+2)=1
5、【拓展】请判断：
x2－4x＋3的值能否等于－2？
（从而指出该式的最小值为－1。）

(六)布置作业
思考：1、利用配方法说明：无论x为何值，代数式x2－x＋1的值均不会小于 ？
2、当二次项系数不是1时，用配方法如何解2x2－5x＋2＝0？

学生观看课件，思考老师提出的问题，得到：设该矩形的长为x米，依题意得
x(10－x)=9
但是发现所列方程无法用直接开平方法解。于是引入新课。

学生通过观察发现，方程的左边是一个完全平方式，可以化为( x+3)2=0，然后就可以运用上节课学过的直接开平方法解了。

方程②的左边不是一个完全平方式，于是不能直接开平方。
学生陷入思考。给学生充分思考、交流的时间和空间。
在学生思考的时候，老师引导学生将方程②与方程①进行对比分析，然后得到：

x2＋6x＝－4
    x2＋6x＋9＝－4＋9
    （x+3）2=5
从而可以用直接开平方法解。
给出完整的解题过程。

在学生充分思考、讨论的基础上总结：配方时，常数项为一次项系数的一半的平方。

点拨：先通过移项将方程左边化为x2＋ax形式，然后两边同时加上一次项系数的一半的配方进行配方，然后直接开平方求解。
强调：当一次项系数为负数或分数时，要注意运算的准确性。

要检查学生的练习情况。小组合作交流。

学生归纳后教师再做相应的补充和强调。

让学生注意体会数形结合的思想方法。

学生练习。

学生发现：应先展开再配方。

有两个方法，强调变形的依据。
【方法一】若x2－4x＋3＝—2，那么有（x—2）2=－1，
∵－1<0
原方程无解。
【方法二】x2－4x＋3
        ＝x2－4x＋4－4＋3
        ＝（x—2）2－1
∵（x—2）2≥0
∴（x—2）2－1≥－1
∴x2－4x＋3的最小值为－1，不可能为－2。
从实际问题出发，让学生感受到“生活中处处有数学”，并感受到问题的存在，从而激发学生的求知欲。

直接开平方法是配方法的基础。

先让学生独立解题，感受到解题的困难，然后引导学生去观察方程的特点，寻找解一元二次方程的新的解法，培养学生勇于探索的精神。

引导学生通过对比两个方程，发现它们之间的联系，从而找到解决问题的突破口，依据完全平方公式进行配方。

初步体会和理解配方法。

体会从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。
通过练习深化配方的过程，为下一步学习配方法做铺垫。

几个问题的设计是层层递进，化解了教学的难度。学生在探索、交流的过程掌握了知识，培养了能力。

通过练习，进一步体会配方法的解题步骤，并体会配方法和直接开平方法的联系。基础训练是为了巩固学生对重点内容的掌握。

将所学的知识进行归纳、总结，可以进一步巩固所学知识，使学生对本节内容有较为系统的再认识。

前后呼应。

将知识的获得和技能的形成融合与问题解决的过程中。
通过拓展练习进一步理解配方法的运用。

课后作业第1题是检查学生对知识的灵活运用，第2题是使学生进一步理解和掌握配方法，培养学生进行知识迁移、转化的能力。
八、教学设计说明：
配方法是初中数学教学中的重要内容，也是数学学习的主要思想方法。本节课我在教材的处理上，既注意到新教材、新理念的实施，又考虑到传统教学优势的传承，使自主探究、合作交流的学习方式与数学基础知识、基本技能的牢固掌握、灵活应用有效结合。新的课程标准突出了数学知识的实际应用，所以在教学实际中，我力求将解方程的基本技能训练与实际问题的解决融为一体，在解决实际问题的过程中提高学生的解题能力。因此，我先创设了一个实际问题的情境，让学生感受到“生活中处处有数学”。为了突破本节课的难点，我在教学中注意找准学生的最近发展区，主要以启发学生进行探究的形式展开。在知识探究的过程中，设计了几个既有联系又层层递进的问题，使学生在探究的过程中能体会到成功的喜悦。本节的重点是配方法解一元二次方程的探究，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。在教学中，自主探究，合作交流，学生在探究的过程中掌握了和理解了配方法。小结的时候教师要根据实际情况进行补充和强调，主要是以下两个方面：在知识方面，要回顾配方法解方程的一般步骤和依据；在方法方面，注意解一元二次方程的思想是“降次”。课后作业注重基础知识和基本技能的训练，又注意为下一节学习做准备。