一次函数与反比例涵数的专题复习.doc

一次函数与反比例函数专题复习第一部分 知识梳理考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分） 1、各象限内点的坐标的特征 （1） 点P(x,y)在第一象限（2）点P(x,y)在第二象限（3）点P(x,y)在第三象限（4）点P(x,y)在第四象限2、坐标轴上的点的特征（1）点P(x,y)在x轴上，x为任意实数（2）点P(x,y)在y轴上，y为任意实数（3）点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征（1）点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等（2）点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征（1）位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。（2）位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征（1）点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数（2）点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数（3）点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于考点三、函数及其相关概念 （38分） 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数 （310分） 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线k的符号b的符号函数图像图像特征k0b0 y 0 x图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b0 y 0 x图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。 。第二部分 例题与解题思路方法归纳类型一 一次函数的图像与性质【例题1】已知一次函数y=（6+3m）x+n4（1）当m、n为何值时，函数的图象过原点？（2）当m、n满足什么条件时，函数的图象经过第一、二、三象限？选题意图本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系k0时，直线必经过一、三象限k0时，直线必经过二、四象限b0时，直线与y轴正半轴相交b=0时，直线过原点；b0时，直线与y轴负半轴相交解题思路（1）将点（0，0）代入一次函数解析式y=（6+3m）x+n4求得n值，利用一次函数的性质知系数6+3m0求得m值；（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、三象限时，6+3m0，且n40，据此求m、n的值【课堂训练题】1如图，直线y=x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则ABC的面积为 2如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为 3已知直线ln：y=+（n是不为零的自然数）当n=1时，直线l1：y=2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设A1OB1，（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时，直线l2：y=x+与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设A2OB2的面积为S2；依此类推，直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设AnOBn的面积为Sn则s1+s2+s3+s4+s5= ；Sn= 4（2011绍兴）在平面直角坐标系中过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点例如图中过点P分別作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）在直线y=x+b（b为常数）上，求a，b 的值类型二 一次函数图像与几何变换【例题2】（2011咸宁）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：P从点O出发平移次数可能到达的点的坐标1次（0，2），（1，0）2次3次（2）观察发现：任意一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数 的图象上；平移2次后在函数 的图象上由此我们知道，平移n次后在函数 的图象上（请填写相应的解析式）（3）探索运用：点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标选题意图本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系解题思路（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可；（2）先根据P点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；（3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答【课堂训练题】1（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是 ；（2）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是 ；（3）如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线的解析式2如图，将直线y=2x沿y轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点，与双曲线在第一象限交于点B，且OAB的面积（1）求直线AB的解析式（2）求双曲线的解析式3如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标是（0，1.5）类型三 反比例函数的图像与性质【例题3】（2011防城港）如图，是反比例函数y=和y=（k1k2）在第一象限的图象，直线ABx轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若SAOB=2，则k2k1的值是（）A1B2C4D8选题意图本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cdab=4是解此题的关键解题思路设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=cd，根据三角形的面积公式求出cdab=4，即可得出答案【课堂训练题】1（2011东营）如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设AOC的面积为S1、BOD的面积为S2、POE的面积为S3，则（）A、S1S2S3B、S1S2S3C、S1=S2S3D、S1=S2S32如图，点A是反比例函数y=的图象上任意一点，延长AO交该图象于点B，ACx轴，BCy轴，求RtACB的面积类型四 反比例函数与一次函数的交点问题【例题4】（2011雅安）如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（2，3），BCx轴于C，四边形OABC面积为4（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值（直接写出结果）选题意图此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点同学们应重点掌握解题思路（1）先设出反比例函数和一次函数的解析式：y=和y=ax+b，把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可；（2）两个解析式联立，求得点D的坐标即可；（3）利用函数图象求出分别得出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围【课堂训练题】 1（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数（m0）的图象相交于A、B两点求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值2如图，已知一次函数y1=x+m（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，k0）的图象相交点A（1，3）（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标；（2）观察图象，写出使函数值y1y2的自变量x的取值范围类型六 一次函数与反比例函数的综合题【例题7】（2011宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）当x1时，一次函数值大于反比例函数值，当x1时，一次函数值小于反比例函数值（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=的图象与的图象关于y轴对称，在y2=的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ丄x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标选题意图此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标同时要注意运用数形结合的思想解题思路（1）根据x1时，一次函数值大于反比例函数值，当x1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐标即可【课堂训练题】 1（2011成都）如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求OPQ的面积2（2010苏州）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x0）的图象经过点B、（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC、NABC设线段MC、NA分别与函数（x0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式第三部分 课后练习A类试题：1（2011阜新）反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则AOB的面积为（）AB2C3D12如图，直线y=x+2交x轴于A，交y轴于B（1）直线AB关于y轴对称的直线解析式为 ；（2）直线AB绕原点旋转180度后的直线解析式为 ；（3）将直线AB绕点P（1，0）顺时针方向旋转90度，求旋转后的直线解析式3将一次函数y=kx1的图象向上平移k个单位后恰好经过点A（3，2+k）（1）求k的值；（2）若一条直线与函数y=kx1的图象平行，且与两个坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式4（2011肇庆）如图一次函数y=x+b的图象经过点B（1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1x6时，反比例函数y的取值范围5如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx3的图象在第一象限内相交于点A （4，m）（1）求m的值及一次函数的解析式；（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长B类试题：6已知直线x2y=k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内（1）求k的取值范围；（2）若k为非整数，点A的坐标（2，0），点P在直线x2y=k+6上，求使PAO为等腰三角形的点的坐标7在ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BAC的方向运动设运动时间为t，那么当t= 秒时，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍8如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点c（1，6）、点D（3，n）过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上x轴于F（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式；（3）求证：AECDFBC类试题：9如图，双曲线y=（k0，x0）的图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1x2，分别过P1和P2向x轴作垂线，垂足为B、D过P1和P2向y轴作垂线，垂足为A、C（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1和S2，周长为C1和C2，试比较S1和S2，C1和C2的大小；（2）若P是双曲线y=（k0，x0）的图象上一点，分别过P向x轴、y轴垂线，垂足为M、N试问当P点落在何处时，四边形PMON的周长最小？ 10（2011曲靖）如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，=，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使BCD与AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 20