1、 高二年级期中模拟考试
数学（理）答案
一、 填空题
1、 2、 3、0 4、48 5、 6、． 7、3 8、9
9、或 10、④ 11、 12、
13、 14、
二、解答题
15、⑴因为是菱形，，所以是的中点，
又是的中点，所以． ……………………………………………2分
因为平面，平面，
所以平面． ………………………………………………………6分
⑵因为平面，平面，所以，……………………8分
又因为是菱形，所以，………………………………………………10分
因为，所以平面……………
2、…………………………………12分
又因为平面
所以平面平面．……………………………………………………………14分
16、解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝.…………………………………………5分
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2 (c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，
y＝－，即B(，－)．……………………………………………………9分
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2.① ……………………
3、………………………………………11分
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝
b2－c2＝1，
即有a2－2c2＝1.②[来源:学.科. ……………………………………………13分
网]
由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1. ……………………………………………………14分
17、解：以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),
面MDN的法向量，
设面A1DN的法向量为，则
取即
(1)由题
4、意：取
（2）由题意：即取
18、解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．
因为平面ABCD⊥平面BCE，
A
B
C
D
E
F
(第18题图）
O
平面ABCD∩平面BCE＝BC，ABÌ平面ABCD，
所以AB⊥平面BCE． ……………… 3分
因为CEÌ平面BCE，所以CE⊥AB．
因为CE⊥BE，ABÌ平面ABE，BEÌ平面ABE，AB∩BE＝B，
所以CE⊥平面ABE． ………………………… 6分
因为CEÌ平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE． ……………
5、…………… 8分
（2）连结BD交AC于点O，连结OF．
因为DE∥平面ACF，DEÌ平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，
所以DE//OF． ………………………… 12分
又因为矩形ABCD中，O为BD中点，
所以F为BE中点，即＝． ……… 16分
19、解：（1）由，c=2，得a=，b=2．
所求椭圆方程为．……………………………………………4分
（2）设，则，
故，．………………………………6分
① 由题意，得．
6、
化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上． 8分
② 设，则．
将，，代入上式整理，得
． …………………………………………………10分
因为，k2>0，所以 ，．………………12分
所以 ．化简，得
解之，得，.
故离心率的取值范围是. ……………………………………16分
20、解: (1)由，，得，故椭圆方程为………………3分
又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为………5分
(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,
又由, ,得的中点为，而，
所以的中垂线方程为，由，得 …………………8分
所以圆T的半径为，
故的外接圆的方程为……………………………………10分
(说明:该圆的一般式方程为)
(3)设直线的斜率为，，，由题直线与的斜率互为相反数，
直线的斜率为.联立直线与椭圆方程： ，
整理得，得，
所以，整理得， ………13分
又
=，所以为定值……………………………16分
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