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完整版)三次函数专题
三次函数专题
一、定义：
定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点.
二、三次函数图象与性质的探究：
1、单调性。
一般地,当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。
（根据两种不同情况进行分类讨论）
2、对称中心.
三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明:设函数的对称中心为（m，n)。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以
化简得：
上式对恒成立，故,得,
。
所以，函数的对称中心是（)。
可见，y＝f(x）图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题。
（1)当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增,在上单调递减。
此时：
①若,即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

② 若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③ 若，即与中有且只有一个值为0，所以,原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题。
若函数f（x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f（x） （或f（x0)≤f(x)），则称函数f(x）在点x0处取得极大值(或极小值)，称点x0为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。

5、最值问题.
函数若,且，则：;
。

三、例题讲解：
例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的)已知函数f（x)=x-3ax+3x+1.
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间;
（Ⅱ）设f(x）在区间（2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。
解：

①式无解，②式的解为, 因此的取值范围是.
例2、已知函数满足（其中为常数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程有且只有两个不等的实数根,求常数；
（3）在(2)的条件下,若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积．
解：（1）由，得．
取,得，解之,得，
∴．
从而，
列表如下：

1

＋
0
－
0
＋

↗
有极大值
↘
有极小值
↗
∴的单调递增区间是和；的单调递减区间是．
（2）由（1）知，；
．
∴方程有且只有两个不等的实数根，等价于或． ………8分
∴常数或．
（3)由（2)知，或．
而,所以．
令，得，，．
∴所求封闭图形的面积．
例3、（恒成立问题）已知函数有极值．
（1)求的取值范围；
（2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围．
解：（1）∵，∴，
要使有极值，则方程有两个实数解，
从而△＝，∴．
(2）∵在处取得极值，
∴,
∴．
∴，
∵，
∴当时函数单调递增，
当时，，函数单调递减．
∴时，在处取得最大值,
∵时，恒成立，
∴，即，
∴或，即的取值范围是．
例4、（信息迁移题)对于三次函数.定义：(1)的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。
（1）己知， 求函数的“拐点”的坐标;
（2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;
(3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明)。
解:（1）依题意，得： ,。
由 ,即。∴，又 ，
∴的“拐点”坐标是。
（2)由（1)知“拐点”坐标是。 而
=
==,
由定义（2）知：关于点对称。
（3）一般地，三次函数的“拐点"是，它就是的对称中心。
或者:任何一个三次函数都有拐点; 任何一个三次函数都有对称中心;
任何一个三次函数平移后可以是奇函数 。
例5、（与线性规划的交汇问题)设函数, 其中,是的导函数.
　　(1)若,求函数的解析式;
　　(2)若，函数的两个极值点为满足。 设, 试求实数的取值范围.
解：
　　　　　（Ⅰ)据题意，
　　　　　　由知,是二次函数图象的对称轴
　　　　　　又, 故是方程的两根.
　　　　　　设，将代入得
　　　　　　　　比较系数得:
　　　　　　故为所求。
　　　　　另解：,
　　　　　据题意得　　 解得　
　　　　　故为所求.
　　　（2)据题意，,则

　　　　又是方程的两根，且
　　　　　则  
　　　　　则点的可行区域如图

　　　　　的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点,A到直线的距离的平方为的最小值　　
　　　　　故的取值范围是
例6:（1）已知函数f（x）=x3—x ,其图像记为曲线C。
（i） 求函数f（x)的单调区间；
（ii） 证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1 （x1，f（x1))）处的切线交于另一点P2（x2，f(x2）），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f（x3）），线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值;
（2）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明.
解法一：
（1）（i）有f（x)=x3-x得f'（x）=3x2-1=3(x-)（x+）。
当x(,）和（，）时，f’(x)〉0；
当x（，）时,f’（x)<0。

（ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为
y=（3x12-1）（x—x1)+x13-x1,
即y=(3x12-1）x-2 x13。
由
得x3—x=（3x12—1)x—2 x13
即(x—x1）2（x+2x1）=0，
解得 x=x1或x=-2x1，
故x2=—2x1。
进而有
用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=。
又x2=-2x10，所以S2=，因此有。
(2)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0）的图像为曲线C'，类似于（Ⅰ）（ii)的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C’与其在点P1(x1， g(x1）)处的切线交于另一点P2(x2, gx2)），曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3， g（x3)），线段P1P2、P2P3
与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值.
证明如下:
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至
解法二:
（1）同解法一。
（2）记函数g（x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（1)（ii)的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C’与其在点P1（x1， g（x1）)处的切线交于另一点P2（x2， g(x2）)，曲线C'与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3， g（x3)），线段P1P2、P2P3
与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。
证明如下：

用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 和。
又x2=
所以
故
三次函数作业
1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x）的图象最有可能是（ ）

2、函数在闭区间[－3，0］上的最大值、最小值分别是( ）
A. 1，－1 B. 1，－17 C。 3，－17 D. 9，－19
3、设函数.
（1）若的两个极值点为，且,求实数的值；
（2）是否存在实数，使得是上的单调函数?若存在，求出的值；若不存在,说明理由.
考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识
4、设定函数，且方程的两个根分别为1,4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
(Ⅱ)若在无极值点，求a的取值范围。
5、已知函数f（x）=，其中a〉0。
（Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
6、已知函数 （其中常数a，b∈R），是奇函数。
（Ⅰ）求的表达式;
（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值。
7、已知在函数的图象上以N(1，n）为切点的切线的倾斜角为
(1）求m、n的值；
(2)是否存在最小的正整数k，使不等式对于恒成立?求出最小的正整数k，若不存在说明理由；
20070329
（3)求证:
8、已知函数（a—b）〈b）。
（I）当a=1，b=2时,求曲线在点（2，）处的切线方程.
（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且,
9、已知函数f（x)=的图像在点P（0，f(0)）处的切线方程为y=3x—2
(Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x)+是［]上的增函数。K^S*5U.C#O
（i）求实数m的最大值；
（ii）当m取最大值时,是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在,求出点Q的坐标;若不存在，说明理由。K^S＊5U.C＃O

作业:
1、解：根据图象特征,不妨设f（x)是三次函数。则的图象给出了如下信息:
①；
②导方程两根是0,2，（f（x)对称中心的横坐标是1）；
③在(0，2）上；在（－，0）或(2，）上.
由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。
2、解:函数的导方程是,两根为1和－1，由性质2得：
,
.
故选C.
3、【解析】
（1）由已知有，从而,所以;
（2）由，
所以不存在实数，使得是上的单调函数。
4、

5、【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f(x）=，f(2)=3;f’（x)=, f’（2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f2））处的切线方程为y-3=6(x-2），即y=6x-9.
(Ⅱ)解:f’（x）=.令f’（x）=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
若，当x变化时，f’（x)，f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’(x)
+
0
-
f（x）

极大值

当等价于，
解不等式组得—5〈a<5。因此。
若a>2，则。当x变化时,f’（x),f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’（x）
+
0
—
0
+
f（x)

极大值

极小值

当时，f（x）>0等价于即，解不等式组得或。因此2