法向量“法力无边”.doc

法向量“法力无边”

平行、垂直的证明，空间角和距离的计算是立体几何中“青春永葆”的话题，也是“亘古不变”的难题。难点在于解决这些问题时，需要作图。特别是角和距离的计算需要作出垂线段和角，令其“有形”，方可操作。应用法向量可以突破这一难点。
如果一个非零向量与平面垂直，则称向量为平面的法向量。
求法向量的步骤：
（1） 设此面的法向量为（x，y，z）
（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：（x1，y1，z1）, （x2，y2，z2））
则有：
（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。

一、线面角

θ
A.法向量向上时
α

∵α(所求的角)+θ=90°
图1
∴sinα=cosθ
B.法向量向下时
θ

α

∵θ=α(所求的角)+ 90°
图2
∴sinα=sin（θ-90°）=-cosθ>0
综上有：sinα=

例1 如图3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的正弦。
【分析及解】本题按传统方法，需要作 在平面ABD上的射影，比较复杂，若用法向量来解，则可简化问题：
以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，
∴，，，，
∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G，
∴ 平面ABD，∴，解得 ，
∴，，
图3
∵ 平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量；
由
二、二面角
设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量
的夹角为，则有（图4）或 （图5）

图4 图5

例2.如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，
D是CB延长线上一点，且。
求二面角的大小。
解 取BC的中点O，连AO。 图6
由题意 平面平面，，
∴平面，
以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 则 ，，，，
∴ ， ， ，
由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量。
设 平面的法向量为 ，
则 ， ∴ ， ∴ ，即 。 ∴ 不妨设 ，
由 ，
得。 故所求二面角的大小为。
三、点面距离
设 为平面的法向量，A，B分别为平面内，外的点，则点B到平面的距离 。
略证：
图7

例3 如图8，已知正四棱柱，点E为中点，
点F为中点。求点到平面BDE的距离。
解 以D为原点，建立如图8所示的直角坐标系，
则 ，，，，
∴ ，，，
设 平面BDE的法向量为 ，
则，， 图8
∴ ， ∴ ， 即 ，
∴ 不妨设 ，则点到平面BDE的距离为
， 即为所求。
四、异面直线间距离
是两条异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离，则。
例4．已知M，N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点，求：异面直线MN与间的距离。
【分析及解】本题需要找出异面直线与的公垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：
以D为原点,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图1的空间直角坐标系，则，
由于M、N是的中点，则，
从而，，
设与都垂直的方向向量为，则
即即，不妨设，
所以异面直线MN与间的距离为。

图9

1.（本小题满分12分）
如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

2.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.
解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD,∴EF∥AD,
又∵AD平面PAD,EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD.

(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,
则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.
在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.
∴S△ABC=AB·BC=××2=,
∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.

3. 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分
（Ⅰ）,
因为，
所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则 ……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分

4.如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小

5.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得∥平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，平面；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.

6.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，
平面，，、、分别为、、的中点，且.
（I）求证：平面平面；
（II）求三棱锥与四棱锥的体积
之比.
7.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；