2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(新课标全国卷B)理科与答案(16).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷B）
数学（理科）解析与答案
（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古）
本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则中所含元素的个数为
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
【解析】选D.
法一：按的值为1，2，3，4计数，共个；
法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是，小的是，共种选法.
2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种
【解析】选A.
只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共种安排方案.
3. 下面是关于复数的四个命题：

的共轭复数为 的虚部为
其中的真命题为
A. ， B. ， C. ， D. ，
【解析】选C.
经计算， .
4. 设是椭圆 的左右焦点，为直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为
A. B. C. D.
【解析】选C.
画图易得,是底角为的等腰三角形可得，即, 所以.
5. 已知为等比数列，，，则
A. B. C. D.
【解析】选D.
,,或,成等比数列，.
6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数和
实数，输出，，则

A. 为的和
B. 为的算术平均数
C. 和分别是中最大的数和最小的数
D. 和分别是中最小的数和最大的数
【解析】选C.

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
【解析】选B.
由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，
.
8. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，，两点，，则的实轴长为
A. B. C. D.
【解析】选C.
易知点在上，得，.
9. 已知，函数在单调递减，则的取值范围是
A. B. C. D.
【解析】选A.
由得，，
.
10. 已知函数，则的图像大致为

【解析】选B.
易知对恒成立，当且仅当时，取等号.
11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A. B. C. D.
【解析】选A.
易知点到平面的距离是点到平面的距离的2倍.显然是棱长为1的正四面体，其高为，故，
12. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A. B. C. D.
【解析】选B.
与互为反函数，曲线与曲线关于直线对称，只需求曲线上的点到直线距离的最小值的2倍即可.设点，点到直线距离.
令，则.由得；由得，故当时，取最小值.所以，
所以.
二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.
13.已知向量，夹角为，且，，则 .
【解析】.
由已知得，
，解得.

14. 设满足约束条件则的取值范围为 .
【解析】.
画出可行域，易知当直线经过点时，取最小值；当直线经过点时，取最大值3.故的取值范围为.
元件1

元件2

元件3

15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的
使用寿命（单位：小时）服从正态分布
，且各元件能否正常工作互相独立，
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
【解析】 .
由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.
16. 数列满足，则的前60项和为 .
【解析】1830.
由得，
……①
……②,
再由②①得, ……③
由①得, …
…
由③得, …

所以, .
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，.
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 若，的面积为，求，.
解：(Ⅰ)法一:由及正弦定理可得
,
,
,
,,
,,
，，

法二:由正弦定理可得，由余弦定理可得 .
再由可得，，
即，

，即，，
， ，，

(Ⅱ)，，，
， ， .
解得.
18. （本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；
(Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19

20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
解：(Ⅰ) （）；
(Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，的分布列为

60
70
80

0.1
0.2
0.7

的数学期望=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，
的方差=60-76×0.1+70-76×0.2+80-76×0.7=44.
（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，的分布列为

55
65
75
85

0.1
0.2
0.16
0.54
的数学期望=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，
因为76.476，所以应购进17枝玫瑰花.

19. （本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，
(Ⅰ) 证明：
(Ⅱ) 求二面角的大小.

(Ⅰ) 证明：设， 直三棱柱， ， ，，.
又，，平面.
平面,.

(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，，，又已知，.
在中，， .
，.
法一：取的中点，则易证平面，连结，则，
已知，平面，，
是二面角平面角.
在中，，.
即二面角的大小为.
法二：以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则.
，设平面的法向量为，
则,不妨令,得,故可取.
同理,可求得平面的一个法向量.
设与的夹角为,则 , .
由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角的大小为.

20. （本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、两点
(Ⅰ) 若，面积为，求的值及圆的方程；
(Ⅱ)若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，的距离的比值.
解 (Ⅰ)由对称性可知,为等腰直角三角形,斜边上的高为,斜边长.
点到准线的距离.
由得, ,
.
圆的方程为.
(Ⅱ)由对称性,不妨设点在第一象限,由已知得线段是圆的在直径,
,,,代入抛物线得.
直线的斜率为.直线的方程为.
由 得,.
由得, .故直线与抛物线的切点坐标为,
直线的方程为.
所以坐标原点到，的距离的比值为.

21. （本小题满分12分）
已知函数.
(Ⅰ) 求的解析式及单调区间；
(Ⅱ) 若，求的最大值
解: (Ⅰ) ,令得,,
再由,令得.
所以的解析式为.
,易知是上的增函数,且.
所以
所以函数的增区间为,减区间为.
(Ⅱ) 若恒成立,
即恒成立，
,
(1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意;
(2)当时,恒成立, 则,;
(3)当时, 为增函数,由得,
故
当时, 取最小值.
依题意有,
即,
,,
令,则,
,
所以当时, 取最大值.
故当时, 取最大值.
综上, 若，则 的最大值为.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，，分别为边，的中点，直线交的
外接圆于，两点.若，证明：
(Ⅰ) ；

(Ⅱ) .
证明：(Ⅰ) ∵，分别为边，的中点，
∴.
,,且 ，
又∵为的中点，且 ，.
，..
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，，
.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为.
(Ⅰ)点，，，的直角坐标；
(Ⅱ) 设为上任意一点，求的取值范围.
解：(Ⅰ)依题意，点，，，的极坐标分别为.
所以点，，，的直角坐标分别为、、、；
(Ⅱ) 设，则

.
所以的取值范围为.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ) 当时，求不等式的解集；
(Ⅱ) 的解集包含，求的取值范围.
解：(Ⅰ) 当时，不等式
或或
或.
所以当时，不等式的解集为或.
(Ⅱ) 的解集包含，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，即.
所以的取值范围为.

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