广东省深圳市宝安中学2012届高三数学5月热身考试-文-新人教A版.doc

2012年宝安中学高三数学热身考试题（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）若集合，且，则集合可能是（ ）
（A）（B） （C） （D）
（2）“”是“直线与直线平行”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）执行右图的程序框图，则第次输出的数为（ ）
（A） （B） （C） （D）

(4) 设，且为实数，则的值为（ ）
（A）1 （B）—1 （C） （D）0
（5）已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）
（6）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 的是（ ）
（A），且 （B）∥，且
（C），且∥ （D），且∥
（8）设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
(9) 已知四棱柱中，侧棱,，底面的边长均大于2，且，点在底面内运动且在上的射影分别为，，若，则三棱锥体积的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）已知函数，集合，
，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不可能的是（ ）（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）

(11) 若向量，向量，则= ，与的夹角为
(12)在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为____，若直线的倾斜角为，则的值为 ．
(13) 已知函数,给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中，所有正确命题的序号是 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .
15.（几何证明选讲选做题）过点做圆的切线（第15题图）
切于点，作割线交圆于两点，其中, , ，则 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
（16）（本小题共13分）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）已知在函数图象上的三点的横坐标分别为，求的值.

（17）（本小题共13分）近年来，随着“低碳环保”的提出，“低碳生活”倍受人们的关注。国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数0.785等．某环保单位对该区的7个小区内选择两个小区逐户进行一次生活习惯的调查以计算每个人的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的人属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的这7个小区中低碳族的比例分别为，，，，，，．
（1）求所选择的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

月排放量
（百千克）
频率
组距
0.42
0.23
0.1
0.07
1
2
3
4
5
（乙）

月排放量
（百千克）
频率
组距
0.3
0.25
0.2
0.15
0.05
1
2
3
4
5
（甲）
6
（2）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图甲所示，经过某环保单位的大力宣传，经过两个月后，又进行了一次调查，数据如图乙所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准．

（18）（本小题共13分）如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，.
（Ⅰ）证明无论点怎样运动，四边形都为矩形；
（Ⅱ）当时，求几何体的体积．

（19）（本小题共13分）已知函数.
（Ⅰ）若，求在处的切线方程；
（Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围.
（20）（本小题共14分） 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

（21）(本小题共14分) 个正数排成行列, 如下所示：

其中表示第行第列的数.已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为，，，.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）记第行各项之和为（≤≤），数列，，满足， （为非零常数），，且，求的取值范围；
(Ⅲ)对（Ⅱ）中的，记，设，求数列中最大项的项数.

参考答案及评分标准 （文科）
一、A C B C D ， C B A A D

二、（11） 　 （12） （13）①④ （ 14） 1 （15）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

（16）解：（Ⅰ）由图可知，. 。。。1分
的最小正周期 所以 ………3分
又 ，且
所以. …………6分

（Ⅱ）因为，
所以.
设 ， …7分
在等腰三角形中，设，则, ，
所以. ……13分

（17）解：解：（I）由题可知，7个小区中有三个小区为“非低碳小区”，设为，有四个小区为“低碳小区”，设为，用表示选定的两个小区
则基本事件空间……2分
共有基本事件数21个
设事件A：两个小区恰有一个为“非低碳小区”，
则
包含的基本事件数为12 …………4分
则 …………………7分
（II）由图甲可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”，…………10分
由图乙可知，两个月后的低碳族的比例为，
所以两个月后小区A仍然没达到“低碳小区”标准。 ………13分

（18）证明：（Ⅰ）：（Ⅰ）在直四棱柱中，，
∵，∴，
又∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴，∴四边形为平行四边形，
∵侧棱底面，又平面内，
∴，∴四边形为矩形； ………6分
（Ⅱ）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，
∴侧棱底面，又平面内，∴，
在中，，，则；
在中，，，则；
在直角梯形中，；
∴，即，又∵，∴平面；
由（Ⅰ）可知，四边形为矩形，且，，
∴矩形的面积为，
∴几何体的体积为．………13分
（19）解：（Ⅰ）由，，， …… 1分
所以. …3分
又，
所以所求切线方程为即. …5分
（Ⅱ）由已知，得.
因为函数在上是增函数，
所以恒成立，即不等式 恒成立. ………………9分
整理得.
令 ……11分
的变化情况如下表：

+

极小值

由此得的取值范围是. ………………13分

（20）解：（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，
即 ………………3分
化简得． 所以动点的轨迹的方程为．…………7分
（Ⅱ）因为直线：与曲线相交于，两点， 所以 ，
所以或……………8分
假设存在点，使得…………9分
因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，所以与互相垂直且平分…………10分
所以原点到直线：的距离为…………11分
即 ，解得， ，经验证满足条件………………13分
所以存在点，使得．…………14分

（21）解：（Ⅰ）因为， 所以.
又成等差数列，
所以. ………4分
（Ⅱ）设第一行公差为，由已知得,,
解得. 所以.
因为 .
所以,
所以. ………6分
因为， 所以.
整理得. 而 ，所以，
所以是等差数列. ………8分
故.
因为， 所以. 所以.
所以，
所以.
所以的取值范围是 . ……10分
(Ⅲ)因为是一个正项递减数列，
所以当，当.（，）
所以中最大项满足即 ………12分
解得≤.
又，且,
所以，即中最大项的项数为. ……14分

9