限时集训(十二)-函数与方程.doc

限时集训(十二)　函数与方程

(限时：60分钟　满分：110分)

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
2．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为________．
3．(2012·南京模拟)函数f(x)＝ex＋x－2的零点在区间(a，a＋1)(a∈Z)上，则a＝________.
4．(2013·宿迁期中)函数f(x)＝3sin x－logx的零点的个数是________．
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6 000)＝0.200
f(1.5 875)＝0.133
f(1.5 750)＝0.067
f(1.5 625)＝0.003
f(1.5 562)＝－0.029
f(1.5 500)＝－0.060

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确到0.01)为________．
6．(2012·淮南模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
7．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
8．(2012·洛阳模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点的个数为________．
9．(2012·南通、泰州、扬州联合调研)若函数f(x)＝|2x－1|，则函数g(x)＝f(f(x))＋ln x在(0,1)上不同的零点个数为________．
10．(2012·南京二模)已知关于x的方程x2＋2a log2(x2＋2)＋a2－3＝0有惟一解，则实数a的值为________．
二、解答题(本大题共4小题，共60分)
11．(满分14分)
如图是一个二次函数y＝f(x)的图象．
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)写出这个二次函数的解析式；
(3)分别指出f(－4)f(－1)，f(0)f(2)与零的大小关系．

12．(满分14分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．

13.(满分16分)(2012·无锡模拟)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

14．(满分16分)已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．

答案

[限时集训(十二)]
1．解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.
答案：0
2．解析：∵x∈[0,4]，∴x2∈[0,16]．∴x2＝0，，，，，，都是f(x)的零点，此时x有6个值．
∴f(x)的零点个数为6.
答案：6
3．解析：因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．
答案：0
4.解析：函数y＝3sin x的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝，由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sin x和y＝logx的图象(如图所示)，易知f(x)有5个零点．
答案：5
5．解析：由表格可得x0∈(1.5 625,1.5 562)，又精确到0.01，故x0≈1.56.
答案：1.56
6．解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.
答案：3
7.解析：令x＋2x＝0，得2x＝－x，
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x.
在同一坐标系内画出y＝2x，
y＝ln x，y＝－x，
如图，x1<01.所以x1图象与x轴交点为(1,0)，且过点，又ln 2<1，故利用数形结合法知，函数g(x)在(0,1)上不同的零点分布在区间，，上，共有3个零点．
答案：3
10．解析：原方程可化为log2(x2＋2)＝－x2＋.由题意知上述方程有惟一解，即函数y＝log2(x2＋2)的图象与函数y＝－x2＋的图象只有一个交点．画图可知，当a>0，＝1时，两函数的图象只有一个交点，解得a＝1.
答案：1
11．解：(1)由图象知函数y＝f(x)的零点是x1＝－3，x2＝1；
(2)法一：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，据题意
解得
故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.
法二：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，由f(－1)＝4可得a＝－1，故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.
法三：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，由f(0)＝3可得a＝－1，故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.
(3)∵f(－4)＝－5，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(2)＝－5
∴f(－4)f(－1)＝－20<0，f(0)f(2)＝－15<0.
12．解：因为Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝
92＋>0，
所以若存在实数a满足条件，
则只需f(－1)·f(3)≤0即可，
即f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.
检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.
所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－，
此时f(x)＝x2－x－，
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠－.
综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．
13.解：(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和 (1,2)内，如图(1)所示，得
解得－0)，它的图象与直线y＝x的交点分别为A(，)，B(－，－)．
由AB＝8，得k＝8，∴f2(x)＝.
故f(x)＝x2＋.
(2)证明：法一：由f(x)＝f(a)，得x2＋＝
a2＋，
即＝－x2＋
a2＋.
在同一坐标系内作出f2(x)＝和f3(x)＝－x2＋a2＋的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．
因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即
f(x)＝f(a)有一个负数解．
又∵f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋，
当a>3时，f3(2)－f2(2)＝a2＋－8>0，
∴当a>3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f(2))在f2(x)图象的上方．
∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即
f(x)＝f(a)有两个正数解．
因此，方程f(x)＝f(a)有三个实数解．
法二：由f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋，即(x－a)＝0，得方程的一个解x1＝a.
方程x＋a－＝0化为ax2＋a2x－8＝0，由a>3，Δ＝a4＋32a>0，得
x2＝，
x3＝，
∵x2<0，x3>0，∴x1≠x2，且x2≠x3.
若x1＝x3，即a＝，则
3a2＝，a4＝4a，
得a＝0或a＝，这与a>3矛盾，
∴x1≠x3.
故原方程f(x)＝f(a)有三个实数解．