点到直线的距离公式说课案.doc

《点到直线的距离》说案
【教材】 高级中学教科书（必修）第二册（上）
一． 教学目标
1．教材分析
⑴ 教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．
⑵ 地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
2．学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、两直线的位置关系等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较薄弱，处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．
3.教学目标
（1） 知识技能
① 理解点到直线的距离公式的推导过程；
② 掌握点到直线的距离公式；
③ 掌握点到直线的距离公式的应用．
（2）数学思考
① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；
② 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．
（3）解决问题
① 通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；
② 由探索点p(4,2)到直线2x-y+2=0的距离，推广到探索点到直线的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．
二． 教学重点、难点及解决办法
1．教学重点
（1）点到直线的距离公式的推导思路；
（2）点到直线的距离公式的应用．
2．教学难点
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．
3. 解决办法
（1）通过具体实例,化抽象为直观,便于学生理解,使学生易于接受。
（2）学生亲身参与推导过程，使之印象深刻
（3）通过类比,进一步明确在一般情况下公式的推导。
（4）适时练习,巩固理解。
四、教学方法
教师讲解与学生活动相结合,充分调动学生的想象、思考，使学生通过观察、练习，积极、主动参与学习。引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.
在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解.
五、学生活动设计
1.复习回顾点到直线的距离的定义
2.分组讨论具体实例中点到直线的距离的求解
3.通过具体例题得出公式在特殊情况下任然适用
4. 归纳总结公式特点，并理解记忆
5.完成课堂练习。
6.归纳总结，形成课堂小结
六、教学过程
教学
环节
教 师 活 动

学 生 活 动

设计意图
新课引入
创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏人离高压线的距离及铁轨的宽度．让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．

仔细观察图片，激发求知欲
模 型
直 观

探

索

思

考

探

索

思

考

问
题解决

知

识

应

用
回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？
教师通过学生回答，完善概念

1． 点到直线的距离公式的推导过程
（从具体推广到抽象）

问题1如何求点到直线的距离？(CAI展示解题过程)
方法1　利用定义
过点作的垂线，设垂足为

教师评注：思路清晰但运算困难，启发学生有没有更好的办法解决这个问题。

方法2　利用直角三角形的面积公式
过点作、轴的垂线，交点为点、

问题2 如何求点到直线的距离（）？
教师：你能否类比问题1，解决本问？
教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？

方法：利用直角三角形的面积公式的算法思路
教师：如果类比问题1、，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？

CAI展示解题思路

教师：根据得到的算法思路，根据学生特点，由教师和学生共同完成一般情况的证明，（其中着重指出R,S的坐标的计算方法，以及等面积法的使用）

教师：对于的特殊情况，你可以怎样处理？

2．点到直线的距离公式
点到直线的距离（其中）

教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题1？并比较计算结果．

3．点到直线的距离公式的应用（CAI展示）
例1 求点到下列直线的距离：
⑴ ⑵
⑶
分析：⑴
可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝对值符号．教师要给予纠正，强调距离是一个非负数．
⑵
教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于或的特殊情况，一般结合图形直接得到结论．
⑶

补充的问题⑶中所给出的直线方程不是一般式，所以在代入公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定系数，从而达到强调公式运用前提的目的．
教师：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．

例2 求平行线和
的距离．
教师：这两条平行直线间的距离是否是固定的？
教师：如何求这两条平行直线间的距离？
教师：可以选择哪个点？
解：在直线上任取一点，例如则到直线的距离就是两平行线间的距离．因此

教师：是否可以在直线上取一般的点来求距离？

课堂练习 求下列两条平行线的距离：
⑴
⑵
⑶
留下问题：点到直线有距离公式，而平行线间的距离是固定的，是不是也有公式呢？请同学们课下思考。
·

·
·

·
·

·
学生：过点作的垂线，垂足为，垂线段的长度就是点到直线的距离．
点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．

问题1
学生作图后，结合图象，分组讨论怎样计算．

方法1 利用定义

·

·

方法2 利用直角三角形的面积公式

·

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·
·

问题2

·
·

学生讨论：前面两种证明方法的都可行，

方法： 利用直角三角形的面积公式的算法
学生：先添作辅助线，过点作轴、轴的垂线交于点，再利用直角三角形的面积公式进行计算．

师生共同总结：对于点到直线的距离公式的理解
1.公式的分子是将点的坐标代入方程的左边的绝对值;分母是x,y前系数平方和的算术平方根
2.此公式的作用是求点到直线的距离；
3.此公式是在A ≠0 、B≠0的前提下推导的；
4.如果A=0或B=0，此公式也成立；
5.用此公式时直线方程要先化成一般式；（CAI展示）

师生共同讨论

例1 解：⑴根据点到直线的距离公式，得

⑵解法① 因直线平行于轴所以

解法② 根据点到直线的距离公式，得
⑶

根据点到直线的距离公式，

；

例2
学生：两条平行直线间的距离处处相等；
学生：将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离；
学生：选择点．

学生：可以选择一般的点．
解：设直线上一点

课堂练习
学生独立完成
解：⑴
⑵
⑶

在复习旧知的基础上引人新课．

具体问题的运算，
为后面推广到一般情况作好
铺垫

让学生独立思考问题1，养成独立思考的习惯

师生共同完成证明过程，由教师引导学生突破重难点

例1主要是通过直接将已知点的坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆和前提条件．
在此基础上，
由浅入深

例2
采用了类比化归的思想方法，

通过学生动手操作，复习巩固公式
课

堂

小

结
教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．

课后作业
(一)13.求点P(－5，7）到直线12x＋5y－3＝0的距离.
14.已知点A（a，6）到直线3x－４y＝2的距离d取下列各值，求a的值：
(1)d＝４，（2）d＞４.
16.求两条平行线3x－2y－1＝0和3x－2y＋1＝0的距离.
（二）1.预习内容：P57～59就是两平行线间距离.
2.预习提纲
（1）二元一次不等式Ax＋By＋C＞0（＜0)表示怎样的平面区域?
（2）如何作出二元一次不等式所表示的平面区域?

学生归纳总结
本课主要学习了以下内容：
⑴ 点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法；
⑵ 点到直线的距离公式：
点到直线（其中）的距离

说明：对于的特殊情况时公式仍然适用．
⑶ 应用点到直线的距离公式的前提条件．
设计说明：
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；
2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了两种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法．让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明；
3．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．
参考文献：全日制普通高级中学教材教案系列丛书《数学第二册（上）教案》（延边教育出版社）

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