折叠问题.doc

课题：折叠问题
——矩形（三角形）中的折叠问题
沧州市第十中学 唐玉清

学习目标：
知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题.用相似得方程，把条件集中到直角三角形中，根据勾股定理得方程。
过程与方法：在分析基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣.
教学重点：解决矩形中的折叠问题.
教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.
学习过程：
知识链接
一、填空题
1.在D ABC中, ∠C=90°,
(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.
(2)若a=9,b=40,则c=______.
2．把一张长方形的纸片按如图（1）所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
（1） （2）
3.如图（2），将矩形纸片ABCD沿一对角线BD折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符号写出来。
（设计意图：勾股定理是解决折叠问题的关键知识点，让学生寻找并发现这一等量关系是解决这类问题的关键。）
知识回顾
1. 如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 ________ 图形，这条直线叫做 ________ 这时,我们也说这个图形关于这条直线对称.
2.关于某条直线对称的两个图形是________ 形。
3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的 ________ 线。
（设计意图：折叠过程就是轴对称变换,折痕就是对称轴折痕两边的图形全等。）
知识应用
1、 如图(3)，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。
（1）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数。
（2）若AB=4，BC=8，求AF。（3）在（2）的条件下，试求重叠部分△DBF的面积。
(3) (4)
（设计意图：矩形沿对角线折叠，构造全等三角形、等腰三角形，利用勾股定理设未知数，列方程解决问题。）
知识提升
2.如图(4)，折叠矩形ABCD一边AD，使点D落在BC边的一点F处，已知折痕AE=5Ö5 cm，且tanÐEFC=3/4.
(1)求证：△AFB∽△FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
（设计意图：再上一题的基础上再加深一步，利用相似，全等对应边相等，利用勾股定理设未知数，列方程解决问题。）
知识拓展
1.如图(5)，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时， BE的长为_____.
2.如图(6)，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值__ (5) (6)

（设计意图：求线段长、最值是折叠问题的一个重要知识点。鼓励学生多角度思考，结合相关知识解决问题。）
再创提高

如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.
(1)若∠1=70∘，求∠MKN的度数；
(2)△MNK的面积能否小于1/2?若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你探究可能出现的情况，求最大值
（设计意图：我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了等腰三角形，与图中平行线结合在了一起，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形.
另外勾股定理是解决此类问题的有力工具，利用设未知数构造方程的方法，体现了数学中的方程思想.）
课题总结与作业
1. 谈谈你的收获
教师总结：
我们今后再遇到此类折叠问题应该有了一定的解题思路.
首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件.
其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.
再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理或相似性质，是计算边长的常用方法
图形折叠问题题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，相信你们定能将一道道难题破解.
2.布置作业（相应的练习题）