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大学数学习题一答案

篇一：大学数学习题三

习题三

1． 确定以下函数的单调区间：

(1) y?2x3?6x2?18x?7；

解：所给函数在定义域(??,??)内连续、可导，且

y??6x2?12x?18?6(x?1)(x?3)

可得函数的两个驻点：x1??1,x2?3,在(??,?1),(?1,3),(3,??)内，y?分别取+，–，+号，故知函数在(??,?1],[3,??)内单调增加，在[?1,3]内单调减少. (2) y?2x?8 (x?0)； x

8，那么函数2x解: 函数有一个连续点x?0在定义域外，在定义域内处处可导，且y??2?

有驻点x?2，在部分区间(0,2]内，y??0；在[2,??)内y?0，故知函数在[2,??)内单调增加，而在(0,2]内单调减少.

(3) y?ln(x?；

解: 函数定义域为(??,??

)，y???0,故函数在(??,??)上单调增加.

(4) y?(x?1)(x?1)3；

解: 函数定义域为(??,??),y??2(x?1)(2x?1)，那么函数有驻点: x??1,x?21,在211(??,]内， y??0，函数单调减少；在[,??)内， y??0，函数单调增加. 22

(5) y?xe (n?0,n?0)；

解: 函数定义域为[0,??)，y??nxn?1?xn?xe?xne?x?e?xxn?1(n?x)

函数的驻点为x?0,x?n,在[0,n]上y??0，函数单调增加；在[n,??]上y??0，函数单调减少. (6) y?x?sin2x；

解: 函数定义域为(??,??),

?x?sin2x, x?[nπ,nπ?π

y???], n?Z,

?2

???x?sin2x, x?[nπ?π

2,nπ], n?Z.

1) 当x?[nπ,nπ?π

2]时， y??1?2cos2x，那么

y??0?cos2x??1

2?x?[nπ,nπ?π

3]；

y??0?cos2x??ππ

2?x?[nπ?π

3,nπ?2].

2) 当x?[nπ?π

2,nπ]时， y??1?2cos2x，那么

y??0?cos2x?1π

2?x?[nπ?π

2,nπ?6]

y??0?cos2x?1π

2?x?[nπ?6,nπ]. 综上所述，函数单调增加区间为[kπkππ

2,2?3] (k?z)， 函数单调减少区间为[kππkπ

2?3,2?π

2] (k?z).

(7) y?(x?2)5(2x?1)4.

解: 函数定义域为(??,??).

y??5(x?2)4(2x?1)4?4(x?2)5(2x?1)3?2

?(2x?1)3(18x?11)(x?2)4 函数驻点为x1??1

2,x11

2?18,x3?2, 在(??,?1

2]内， y??0,函数单调增加， 在[?1

2,11

18]上， y??0,函数单调减少， 在[11

18,2]上， y??0,函数单调增加，

在[2,??)内， y??0,函数单调增加.

故函数的单调区间为: (??,?1]，[?1

22,11

18]，[11

18,??).

2. 证明以下不等式:

(1) 当0?x?π时， sinx?tanx?2x; 2

(1?cosx)(cos2x?cosx?1)证明: 令f(x)?sinx?tanx?2x,那么f?(x)?, cos2x

π时， f?(x)?0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x)?f(0)?0, 2

即sin2x?tanx?2x. 当0?x?

x2

. (2) 当0?x?1时， e?sinx?1?2?x

x2

证明: 令f(x)=e?sinx?1?,那么f?(x)=?e?x?cosx?x, 2?x

f??(x)=e?x?sinx?1?e?x?(sinx?1)?0,那么f?(x)为严格单调减少的函数,故f?(x)?f?(0)?0即f(x)为严格单调减少的函数,从而f(x)?f(0?),0即

x2

e?sinx?1?. 2?x

3. 试证:方程sinx?x只有一个实根.

x)?cosx1?0,?证明:设f(x)?sinx?x，那么f(f(x)为严格单调减少的函数，因此f(x)

至多只有一个实根.而f(0)?0，即x?0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根x?0，也确实是sinx?x只有一个实根.

4. 求以下函数的极值:

(1) y?x?2x?3；

解: y??2x?2,令y??0，得驻点x?1.

又因y???2?0，故x?1为极小值点，且极小值为y(1)2.

(2) y?2x?3x；

解: y??6x?6x,令y??0，得驻点x1?0,x2?1, 2322

y???12x?6,y??x?0?0,y??x?1?0,

故极大值为y(0)?0，极小值为y(1)??1.

(3) y?2x?6x?18x?7； 32

解: y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1),

令y??0，得驻点x1??1,x2?3.

y???12x?12,y??x??1?0,y??x?3?0,

故极大值为y(?1)?17，极小值为y(3)??47.

(4) y?x?ln(1?x)；

解: y??1?1?0令y??0，得驻点x?0. 1?x

y???1,y??x?0?0,故y(0)?0为极大值. 2(1?x)

(5) y??x4?2x2；

解: y???4x3?4x?4x(1?x2)，

令y??0，得驻点x1??1,x2?0,x3?1.

y????12x2?4, y??x??1?0,y??x?0?0,

故y(?1)?1为极大值，y(0)?0为极小值.

(6) y?x

解

: y??13,令y??0，得驻点x1?,且在定义域(??,1]内有一不可导点x2?1，433335时， y??0;当x?时， y??0,故x1?为极大值点，且极大值为y()?. 44444由于函数定义域为x?1，故x?1不是极值点.

当x?

(7) y?；

解

: y??,令y??0，得驻点x?12. 5

当x?121212时， y??0；当x?，y??0,

故极大值为y()?5553x2?4x?4(8) y?； x2?x?1

解: y?3?x?1?x(

x2?x?1,y??x?2)

(x2?x?1)2,

令y??0，得驻点x1??2,x2?0. ???(?2x?2)(x2?x?1)?2(2x?1)(x2y?2x)

(x2?x?1)3

y??x??2?0,y??x?0?0,

故极大值为y(0)?4，极小值为y(?2)?8

3.

(9) y?excosx；

解: y??ex(cosx?sinx),

令y??0，得驻点xπ

k?kπ?4(k?0,?1,?2,?).

y????2exsinx，y??x?2kπ?π?0,y??x?(2k?1)π?π?0， 44

π2kπ?π

故x2k?2kπ?

4 为极大值点，其对应的极大值为y(x2k)?24; xk?1)π?

π(2k?1)π?π2k?1?(24

4 为极小值点，对应的极小值为y(x2k?1)??2. 1

(10) y?xx；

1

解: y??xx(111lnx

xlnx)??xx

x2,

令y??0，得驻点x?e.

当x?e时， y??0，当x?e时， y??0, 1

故极大值为y(e)?ee.

(11) y?2ex?e?x；

解: y??2ex?e?x,令y??0，得驻点x??ln2

2.

y???2ex?e?x,y??x??ln2?0,

2

篇二：大学数学习题十一答案

阿习题十一

1．设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：?P?x,y?dx?0其中P(x,y)在L上连续．

L证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 那么 L：?

?x?a?y?t

b1?t?b2，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故

?

L

P?x,y?dx?

?

b2b1

?da?

P?a,t????dt?

dt??

?

b2b

P?a,t??0dt?0

2．设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：?P?x,y?dx?

L

?

ba

P?x,0?dx，

其中P(x,y)在L上连续． 证：L：?

?x?x?y?0

a?x?b，起点参数为x=a，终点参数为x=b．

故?P?x,y?dx?

L

?

ba

P?x,0?dx

3．计算以下对坐标的曲线积分：

(1)??x2?y2?dx，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

L

222

(2)?其中L为圆周(x-a)+y=a(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界xydx?

L

(按逆时针方向绕行)；

(3)?ydx?xdy，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧；

L

π

2

(4)??

?x?y?dx??x?y?dy

x?y

2

2

L

，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；

(5)?x2dx?zdy?ydz，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的

?

一段弧；

(6)?x3dx?3zy2???x2y?dz，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；

?

(7)?C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，?dx?dy?ydz，其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，

L

(0,0,1)；

(8)??x2?2xy?dx??y2?2xy?dy，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．

L

解：1)L：y=x，x从0变到2，

2

261

2

??x

2

2

L

?y

2

?dx??

2?x?x4

?dx??1

1?560

?x3?x5?3

5???

?015(2)如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为

图11-1

?x?a?acost

?

0?t?π

?y?asint

L2的方程为y=0(0≤x≤2a)

故 ??L

xydx?

?Lxydx?

1?

Lxydx

2

??π0a?1+cost?asint??a?acost??dt??

2a0

0dx

?

?

π0

a

3

??sin2

t??1?cost?dt

??a3??

π2

sintdt?

?

π2

sintdsint

?

??

π2

a

3

π

(3)?ydx?xdy?

2L

?

0??Rsint??Rsint??RcostRcost??dt

π

?R

2

?

20

cos2tdt

π

?R2?1

?2?sin2t?2?

?0?0

(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:0→2π． 故 ??

?x?y?dx??x?y?dy

L

x2

?y

2

?1a2

?

2π0???acost?asint???asint???acost?asint?acost??dt

?

1

2π

2

a

2

?0

??a?dt

??2π

262

(5)

?2

?

xdx?zdy?ydz

??π

2

20

?k

??k?asin??a??sin??acos?acos??d?

?

?π

3

2

2

?k

??a

?d?

??1π

3?3?a2???k?3??0?13

3

kπ3

?a2

π

?x?3t

(6)直线Γ

的参数方程是?

?y?2t t从1→0．

??

z?t故

?3

2

2

?x

dx?3zydy???xy?dz

??0

?1?27t3?3?3t?4t2?2???9t2?2t???dt?

?

87t3

1

dt10?87?4

t

41

??

874

(7)??AB?BC?CA(如图11-2所示

)

图11-2

AB:?y?1?x

?

?

z?0，x从0→1 ?

AB

dx?dy?ydz?

?

1

??1???1???dx??2．

BC:?x?0

?

，z从0→1 ?

y?1?z 263

?

dx?dy?ydz?

1?zBC

?

1??0???1??????dz

?

?1

?2?z?dz

??

11

2??2z?z?2?

?0?3

2

CA:?y?0

?

，?

z?1?xx从0→1 ?

1

CA

dx?dy?ydz?

??1?0?0?dx?1．

故

??

dx?dy?ydz

L

?

??

?dx?dy?ydz

AB?

?BC?

CA

????2??

312

?1?

2

(8)

??x

2

?2xydx?2

xyL

??y?2?dy

??1

?2

?2x?x

2

2

2x??1??

x???x

4

2x?x

???

dx?

?1

?x

2

?2x3

?2x5

?4x

4

?1

?dx

??

1415

4．计算??x?y?dx??y?x?dy，其中L是

L

(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．

解：(1)L：??

x?y2

，y：1→2，故

?y?y

?L

?x?y?dx??y?x?dy

??2

?y2

1

??

?y??2y??y?y2

??1??

dy?

?2

3

?y2

?y?dy

1

?2y

2

??141312?

?2y?y?y?32?

?1?343

(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：1→2

264

故

??x?y?dx??y?x?dy

L

??

??3y?2?y??3??y?3y?2???dy??

1

2

10y?4?dy

1

2

2

2

????5y?4y?1

?11

(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，那么L=L1+L2．且

L1：?

?x?1?y?y

，y：1→2；L2：?

?x?x?y?2

，x：1→4；

故

??x?y?dx??y?x?dy

L1

??

??1?y??0??y?1???dy??

1

2

?

2

1

?y2?

?y?1?dy???y?

?2?1

2

?

12

??x?y?dx??y?x?dy

L2

???

??x?2???2?x??0??dx??

1

4

?

4

1

2??1

?x?2?dx???x?2??

?2?1

4

272

从而

??x?y?dx??y?x?dy

L

??

??

12

L1

??

L2

??x?y?dx??y?x?dy

?14

?

272

(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故

??x?y?dx?y?x?dy

L

2

??

3t????

1

2

?t?2??4t?1????t?t??2t?dt

??5t?9t?2?dt

2

1

??10t

1

3

?1045392???t?t?t?2t?

32?4?0?323

5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的间隔成正比，假设质点由(a,0)

沿椭圆挪动到B(0,b)，求力所做的功．

265

篇三：大学数学习题七答案

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出以下各点的位置： A(1,2,3);B(-23,4);C(2,-3,-4); D(3,4,0);E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求以下各对点之间的间隔：

（1） （0，0，0），（2，3，4）；（2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1

）s?

(2) s?(3) s?(4) s?

?

?

?

?.

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的间隔.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故

s0?

sx?

?

?

sy?

sz?

?

?5.

6. 在z轴上求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等间隔的点. 解：设此点为M（0，0，z），那么

(?4)?1?(7?z)?3?5?(?2?z)

2

2

2

2

2

2

解得z?

149

149

即所求点为M（0，0，）.

153

7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：由于|AB|=|AC|=7.且有

222

|AC|+|AB|=49+49=98=|BC|. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：(a?b)?c?a?(bc). 证明：利用三角形法那么得证.见图

7-1

图7-1

9. 设u?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解：

2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)

?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c

10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试

????????????????????????????

以AB?c，BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.

??????????????1解：D1A?BA?BD1??ca

5

??????????????2D2A?BA?BD2??c?a

5

??????????????3D3A?BA?BD3??c?a

5

??????????????4D4A?BA?BD4??c?a.

5

?????

11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M的投影为M?，那么

??????????1

PrjuOM?OMcos60??4??2.

2

12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.

解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，那么

????

AB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}

解得x=-2, y=3, z=0

故A的坐标为A(-2, 3, 0).

154

13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：

??????????

（1） P1P2在各坐标轴上的投影；（2） P1P2的模；

??????????

（3） P1P2的方向余弦； （4） P1P2方向的单位向量. ?????

解：（1）ax?PrjxP1P2?3, ?????

ay?PrjyP1P2?1,

?????

az?PrjzP1P2??2.

?????(2) P1P2?

?

ax

(3) cos???

P1P2ay

cos???

P1P2

3

azcos??

?

P1P2

?????

P1P2(4) e0???P1P2

?

j?

.

14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方

向余弦.

解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

|R

|?cos??

? cos??

cos??

15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.

解：|a

|??

|b

|?|c

|?

?

?3

a?

a, b?b, c?3ec.

155

16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.

17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er. 解：因?????,故3cos2??

1 ,cos??

3

, cos???

3

（舍去）

那么er?{cos?,cos?,cos?}?3

3

3

?

3

i?j?k).

????????????

18. 已经明白两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且M1M?3MM2，求?????

向径OM的坐标.

?????

解：设向径OM={x, y, z}

??????

M1M?{x?2,y?5,z?3}

??????

MM2?{3?x,?2?y,5?z}

????????????

由于，M1M?3MM2

11?x??4x?2?3(3?x)??

1??

因此，?y?5?3(?2?y) ? ?y??

4?z?3?3(5?z)?

??z?3

??

?????111

故OM={,?,3}.

44

????236

19. 已经明白点P到点A（0，0，12）的间隔是7，OP的方向余弦是,,，求点P的坐标.

777

????

2222

解：设P的坐标为（x, y, z）, |PA|?x?y?(z?12)?49

得x?y?z??95?

24z cos??

222

?

67

? z1?6, z2?

57049

又cos??

?

27

? x1?2, x2?

19049

156

cos??

?

37

? y1?3, y2?

28549

故点P的坐标为P（2，3，6）或P（20. 已经明白a, b的夹角??

2π3

190285570

）. ,,

494949

，且a?3,b?4，计算：

(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b). 解：（1）a·b =cos??|a|?|b|?cos

2π3

?3?4??

12

?3?4??6

(2) (3a?2b)?(a?2b)?3a?a?6a?b?2b?a?4b?b

?3|a|?4a?b?4|b|

2

2

?3?32?4?(?6)?4?16

??61.

21. 已经明白a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：

（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3）|a?b|2 解：（1）a?b?4?6?(?2)?(?3)?4?2?38 (2) (2a?3b)?(a?b)?2a?a?2a?b?3a?b?3b?b

?2|a|?a?b?3|b|

2

2

2

2

2

2

2

2

?2?[4?(?2)?4]?38?3[6?(?3)?2] ?2?36?38?3?49??113

(3) |a?b|?(a?b)?(a?b)?a?a?2a?b?b?b?|a|?2a?b?|b|

?36?2?38?49?9

222

????22. 已经明白四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量AB在

????

向量CD上的投影.

????????

解：AB={3，-2，-6}，CD={6，2，3}

????????????AB?CD4????AB?PrjC???.

D7CD23. 设重量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线挪动到点M2（1，4，2），计算重力所作

的功（长度单位为m）. 解：取重力方向为z轴负方向， 依题意有

f ={0,0, -100×9.8}

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