有限元分析 均布荷载作用下深梁的变形和应力.docx

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均布荷载作用下深梁的变形和应力
两端简支，长度l=5m，高度h=1m的深梁，在均布荷载q =5000N/m作用下发生平面弯曲
（如图4.1所示）。已知弹性模量为30Gpa，泊松比为0.3，试利用平面应力单元PLANE82，
确定跨中的最大挠度，和上下边缘的最大拉压应力。

4.1 均布荷载作用下深梁计算模型
1．理论解
具有两个简支支座支承的简支梁，它的变形和应力分布在理论上是没有解析表达式。
在一般的弹性力学教科书中，只有将两边支座简化为等效力的条件，即在两个支座的侧表
面上作用有均匀分布的剪力情况，才可以得到理论解答。
(1) 设定应力函数。
获得这种情况下的解答的主要思路是：按照应力解法，考虑到应力分量关于该梁中心
位置（x=2.5，y=0.5）有对称和反对称关系。可以首先假定一个应力函数为：
F = A(y - 0.5)5+ B(x - 2.5)2 (y -0.5)3 +C(y -0.5)3+ D(x- 2.5)2+ E(x -2.5)2 (y - 0.5) (4.1)
依据这个应力函数，可以获得各个应力分量，按照上表面受均布压力作用简支梁的上
下表面和左右侧表面的应力边界条件，确定出应力函数（4.1）中的各个待定系数A，B，C，
D和E。
按照应力求解平面应力问题方法，应力函数应该满足双调和函数：
Ñ2Ñ2F = 0 (4.2)
将（4.1）应力函数代入上式后，得到：
24 B( y - 0.5) +120A(y - 0.5) = 0 (4.3)
即：
B = -5A (4.4)
(2)确定应力分量。
应力函数与应力分量之间的关系为：

(3) 利用梁的上下表面边界条件确定积分常数。
上表面受均布压力作用简支梁的上表面（y=h=1m）的应力边界条件:

下表面(y=0)的应力边界条件:

(5) 将梁的左右端面边界条件降低为积分满足。
考察边界条件（4.13）到（4.16），可以看出，无法找到能满足两端侧表面的所有应力
边界条件的待定系数。根据弹性力学中的圣维南原理，可以在次要边界上放松边界条件。
注意到梁的上下表面几何尺寸大于两端侧表面的高度，所以上下表面可以认为是主要边界，
左右两端侧表面是次要边界。将左右侧面的应力边界条件放松为积分满足，从而得到在左
右支座位置有偏差，在远离两端区域成立的解析解。
将左侧面(x=0)的应力边界条件（4.13）和（4.13）转换为积分条件:

将右侧面(x=l=5m)的应力边界条件（4.15）和（4.16）转换为积分条件:

这些积分条件中的(4.17)，(4.19)，(4.20)和(4.22)会自动满足。条件（4.18）和(4.21)相
同，并且可以确定出：

(6) 获得最准的应力解答。
将这些待定系数代入到(4.5)，(4.6)和(4.7)，得到各个应力分量为：
应力函数与应力分量之间的关系为：

(7) 应力结果的讨论。
以上应力表达式在远离支座的区域内是准确的。我们知道，在梁的跨中，弯矩取得最
大值，所以弯曲应力σx 在跨中最大。从弯曲应力σx 的（4.24）的化简过程可以看出，该应
力分量沿着梁的截面高度Y分布除了第一个线性（材料力学解答）项外，叠加了一个非线
性项，这一项就是对材料力学解答的修正项。这一修正项在梁的下边缘y＝0和上边缘y=1处的值为：

由此可以看出，深梁和细长梁在最大弯矩截面引起的拉压应力，差别不大。代入数值，
可以得到最大应力为σxmax=18.95q=94750Pa。
从竖向应力σy 的表达式(4.25)可以看出，它与水平位移无关，只与竖向坐标y有关。远
离支座区域的竖向应力的最大值为5000 ymax s = -q = - PPaa，最小值为0。
剪应力和截面位置有关，并且和截面上的总剪力成正比，呈抛物线分布。这一结论和
材料力学中的梁内剪应力分布规律相同。在支座附近剪应力最大，且最大值达到：

(8) 用图形显示应力结果。
由表达式(4.24)至(4.26)描述的应力分布可以在Maple环境中，给出它们的等值线图。图
4.2描述的是不同截面上的水平应力σx 沿着梁的横截面高度的分布情况，应力从小到大对
应的截面位置分别是0.5m，1m，1.5m，1m，2.5m。图4.3描述的是水平应力σx 在梁内分布的等值线图。

图4.2 均布荷载作用下深梁内的不同截面上的水平应力分布图

图4.3 均布荷载作用下深梁内的水平应力分布等值线图
图4.4描述的是竖向应力σy 在梁内任意位置横截面上沿着高度的分布情况。
图4.5描述的是竖向应力σy 在梁内分布的等值线图。

图4.4 均布荷载作用下深梁任意横截面位置沿着高度方向竖向应力分布情况

图4.5 均布荷载作用下深梁内的竖向应力分布等值线图
图4.6描述的是梁内不同位置的横截面上的剪应力τxy 沿着梁的横截面高度的分布情况，应力从大到小对应的截面位置分别是0.5m，1m，1.5m，1m，3m，3.5m，4m，4.5m。
图4.7描述的是梁内剪应力τxy 在梁内分布的等值线图。

图4.6 均布荷载作用下深梁内的剪应力沿着梁的横截面高度的分布情况

图4.7 均布荷载作用下深梁内的剪应力分布等值线图

图4.8和图4.7分别描述的是梁内剪应力第一主应力和和第三主应力等值线图。

图4.8 均布荷载作用下深梁内的第一主应力分布等值线图

图4.9 均布荷载作用下深梁内的第三主应力分布等值线图
(9) 用材料力学方法获得位移解答。
深梁的变形是很难用解析方法得到的，这里给出用材料力学方法给出细长梁的变形计
算。对于受均布荷载作用的简支梁，跨中的最大挠度值为：

此解答可以作为验证深梁位移计算结果的参考，由于细长梁没有考虑支座位置的实际
变形，而深梁在支座位置的变形很复杂，而且位移偏大。所以深梁的实际位移值应该比细
长梁的位移大。

2．ANSYS分析

由于深梁的几何形状非常简单，边界支承也不复杂，所以很容易用节点和单元的直接
建模来求解。
首先，将深梁在长度方向和高度方向划分为许多格宽度和高度均匀的网格，网格的交
点处设置节点。这里将5米宽度划分为19份，设置20个节点。1米高度划分为9层单元，设置
10个节点。依次按照单元的连接关系定义单元。
梁的下边缘的最左侧节点固定，最右侧节点限制竖向位移。在梁的上表面的所有节点
上施加由面荷载等效简化得到节点力，最左侧节点和最右侧节点只有中间节点力的一半。
这样就可以建立深梁计算模型。下面给出求解的主要过程和说明。
(1) 定义文件名、标题、在前处理模块中通过循环定义节点。
用文件名定义命令“/Filename,EX4.1”定义工程文件名为“EX4.1”，用标题定义命令
“/Title”定义标题。用“/PREP7”命令进入前处理模块PREP7。
采用对水平方向的 20 个节点循环“ *DO,i,1,20,1” 和对高度方向10 层节点循环
“*DO,j,1,10,1”循环定义各个节点，用节点定义命令“n,i+(j-1)*20, (i-1)*5/19, (j-1)*1/9”
依次计算节点号“i+(j-1)*20”，节点水平位置“(i-1)*5/19”和铅直位置“(j-1)*1/9”。用
“*ENDDO”结束高度方向的循环，用“*ENDDO”结束水平方向的循环。
(2) 定义单元类型、实常数、材料参数、循环定义所有单元。
用单元类型定义命令“ET,1,PLANE82,,,3”定义第1类单元为带厚度（选项参数“3”）
的平面单元PLANE82。用实常数定义命令“R,1,1”定义单元的第1类实常数:厚度为1米。
用材料定义命令“MP,EX,1,3e10”定义第1类材料的弹性模量EX=30×109N/m2，用
“MP,PRXY,1,0.3”定义第1类材料的泊松比PRXY=0.3。
接下来又采用循环语句定义单元：用“*DO,i,1,19,1”命令对水平方向的19个单元循环，
用“ *DO,j,1,9,1 ” 对高度方向的9 个单元循环， 用单元定义命令
“E,i+(j-1)*20,i+(j-1)*20+1,i+(j-0)*20+1,i+(j-0)*20”过节点“i+(j-1)*20”,“i+(j-1)*20+1”,
“i+(j-0)*20+1”和“i+(j-0)*20”定义单元。用“*ENDDO”结束内层循环，再用“*ENDDO”
结束外层循环。
(3) 施加支座位置的约束和上表面的压力荷载
用位移约束定义命令“D,1,all”固定1号节点的所有位移自由度，用“D,20,uy”约束20
号节点的Y方向位移UY。
用荷载定义命令“F,182,fy, -5000*5/19,,199,1”在182到199号（上表面的中间节点）
节点上施加-Y方向大小等于125N （ 平均分配中间荷载） 的集中力。用“ F,181,fy,
-5000*5/19/2”和“F,200,fy, -5000*5/19/2”定义上表面两段节点上的荷载。经过上面步骤
得到如图4-10所示的计算模型。

图4.10 用节点和单元的直接建模生成的均布荷载作用下深梁计算模型

(4) 在求解模块开始求解。
用“/SOLU”命令进入求解模块SOLUTION，用求解命令“SOLVE”开始求解。
(5) 在后处理模块绘制变形图和节点应力云图。
用“/POST1”进入后处理模块POST1。用荷载步计算结果定义命令“SET,1”指定读
入第1个荷载步的计算结果。
用位移计算结果命令“PLDISP,2”显示变形图(参数“2”保留原结构轮廓)。得到如图
4.11所示的变形图从图中可以看出，最大变形出现在跨中，最大挠度值为1.95E-5 m，和
细长梁的挠度计算结果1.6276E-5m大20%，这是因为支座位置的变形较大的缘故。

图4.11 均布荷载作用下深梁内的第三主应力分布等值线图

用等值线图格式定义命令“/DEVICE,VECTOR,1”将等值线图有颜色表示风格切换为
等值线风格。用节点计算结果显示命令“PLNSOL,S,x”在图形窗口显示节点上的X方向应
力SX。该命令得到如图4.12所示的应力分布等值线图，和前面图4.3相比，在远离支座的区
域非常相似。图中显示的最大应力为92334Pa，和前面的理论值相比，有限元结果偏小2.55%
应该说还是基本一致的。

图4.12 均布荷载作用下深梁内的水平应力分布等值线图
利用“PLNSOL,S,Y”可以在图形窗口显示节点上的Y方向应力SY，得到如图4.13所示
的应力分布等值线图，由于支座位置的应力非常高，使得梁中部的竖向应力很小而不足以
显示。通过选择跨中区域的节点和单元后可以得到这个区域的竖向应力分布等值线图（如
图4.14所示），和前面图4.5相比，在远离支座的区域基本相似。由于支座的影响，竖向应
力和理论值有比较大的差异。图4.14中显示的最大竖向压应力为-9041Pa，下边缘有竖向拉
应力4066Pa，和前面的理论值相比，竖向应力的计算结果偏差还是比较大的。但是对于梁
来说，水平应力要远远大于竖向应力，所以竖向应力的偏差不会影响对整个梁的应力计算结果。

图4.13 均布荷载作用下深梁内的竖向应力分布等值线图

图4.14 均布荷载作用下深梁内的跨中位置的竖向应力分布等值线图
利用“PLNSOL,S,XY”可以在图形窗口显示节点上的XY方向剪应力SXY，得到如图
4.15所示的应力分布等值线图，和前面图4.7相比，在远离支座的区域基本相似。在支座附
近，剪应力分布不再是上下对称的。图中显示的最大剪应力为15848Pa，和(4.29)式计出的理论值18750Pa偏小15%。

图4.15 均布荷载作用下深梁内的剪应力分布等值线图
用“PLNSOL,S,1”在图形窗口显示节点上的第一主应力，得到如图4.16所示的第一主应力等值线图。图中显示最大拉应力为92334Pa。

图4.16 均布荷载作用下深梁内的第一主应力分布等值线图

用“PLNSOL,S,3”可以在图形窗口显示节点上的第三主应力，得到如图4.17所示的第三主应力等值线图。图中显示最大压应力为-141146。该值要比出现在跨中的最大压应力大许多，并出现在支座位置附近，说明支座位置的应力集中会使局部出现很高的挤压应力值。在设计支座位置时，需要特别的构造，以防止该部位的破坏。

图4.17 均布荷载作用下深梁内的第三主应力分布等值线图

用“PLNSOL,S,EQV”在图形窗口显示节点Mises应力，得到如图4.18所示的Mises应力分布图。Mises应力是综合了最大应力和最小应力的等效屈服应力，在塑性材料的结构设计中，它是控制结构破坏的主要指标。图中显示的最大Mises应力为147177Pa，最小的Mises应力为5786Pa。梁的支座位置和跨中部位的上下边缘都是Mises应力的高应力区。

图4.18 均布荷载作用下深梁内的Mises应力分布等值线图
3．ANSYS程序

FINISH ! 退出以前模块
/CLEAR,NOSTART ! 清除内存中的所有数据,不读入初始化文件
! (1)定义文件名、标题、在前处理模块中通过循环定义节点
/Filename,EX4.1 ! 定义工程文件名称
/Title,EX4.1, Deep Beam Under Uniform Load ! 定义标题
/PREP7 ! 进入前处理模块PREP7
*DO,i,1,20,1 ! 水平方向节点的循环
*DO,j,1,10,1 ! 高度方向节点循环
n,i+(j-1)*20,(i-1)*5/19,(j-1)*1/9 ! 依次计算节点号，节点水平位置和铅直位置
*ENDDO ! 结束循环
*ENDDO ! 结束循环
! (2)定义单元类型、实常数、材料参数、循环定义所有单元
ET,1,PLANE82,,,3 ! 定义第1类单元为带厚度的平面单元PLANE82
R,1,1 ! 定义单元的第1类实常数:厚度为1
MP,EX,1,3e10 ! 定义第1类材料的弹性模量EX=3e10 N/m2
MP,PRXY,1,0.3 ! 定义第1类材料的泊松比PRXY=0.3
*DO,i,1,19,1 ! 水平方向单元循环
*DO,j,1,9,1 ! 高度方向单元循环
E,i+(j-1)*20,i+(j-1)*20+1,i+(j-0)*20+1,i+(j-0)*20 ! 定义单元的四节点
*ENDDO ! 结束循环
*ENDDO ! 结束循环
! (3)施加支座位置的约束和上表面的压力荷载
D,1,all ! 固定1号节点
D,20,uy ! 约束20号节点的Y方向位移UY
F,182,fy,-5000*5/19,,199,1 ! 在182到199号节点上施加-Y方向大小等于125N的集中力
F,181,fy,-5000*5/19/2
F,200,fy,-5000*5/19/2
FINISH ! 退出前处理模块
! (4)在求解模块开始求解
/SOLU ! 进入求解模块SOLUTION
SOLVE ! 开始求解
FINISH ! 退出求解模块
! (5)在后处理模块绘制变形图和节点应力云图
/POST1 ! 进入后处理模块POST1
SET1 ! 读入第1个荷载步的计算结果
PLDISP,2 ! 显示变形图(保留原结构轮廓)
/DEVICE,VECTOR,1 ! 切换显示风格为矢量线方式
PLNSOL,S,X ! 在图形窗口显示节点上的X方向正应力
PLNSOL,S,Y ! 在图形窗口显示节点上的Y方向正应力
PLNSOL,S,XY ! 在图形窗口显示节点上的XY方向的剪应力
PLNSOL,S,1 ! 在图形窗口显示节点上的第一主应力
PLNSOL,S,3 ! 在图形窗口显示节点上的第三主应力
PLNSOL,S,EQV ! 在图形窗口显示节点Mises应力
FINISH ! 退出后模块

4．计算结果讨论
通过上面程序的计算，可以得到更符合实际模型情况的变形和应力分析结果。其结果
和理论结果、有限元结果有一定的差距，这主要是因为理论模型使用了许多的理想假定。
而有限元计算模型和实际情况更接近一些，所以说，有限元计算结果可以很好地反映深梁
结构的变形和应力分布。但是，在支座位置附近，有限元模型使用了固定一个节点的位移
约束条件，和实际情况是有差异的。并且这样的假定也引起了局部挤压应力的急剧升高，
这和实际情况是不符合的。如果读者通过网格加密计算这个区域的最大应力值，会发现应
力会随着网格的不断细化而不断地升高，这是正常的。因为模型使用一个节点位移约束，
相当于有一个集中力作用在支座位置，当然这个节点位移的应力是无穷大。所以要得到支
座局部的准确分布，需要考虑将其简化成一个区域接触，才可以得到有限的支座位置的准
确应力分布。
我们使用了节点定义和单元定义的直接建模方法，生成了计算模型。同样地，也可以
用体素建模方法，然后通过单元划分（MESH）操作，生成计算模型，下面给出由体素建
模计算的这个问题。详细情况，读者可以参考第6章。

5．用实体建模方法完成对深梁的分析
FINISH ! 退出以前模块
/CLEAR,NOSTART ! 清除内存中的所有数据,不读入初始化文件
! (1)定义文件名、标题、在前处理模块中通过实体建模命令建立实体模型
/Filename,EX4.1-1 ! 定义工程文件名称
/Title,EX4.1-1, Deep Beam Under Uniform Load with SOLID modeling method
/PREP7 ! 进入前处理模块PREP7
blc4,,,5,1 ! 建立从（0，0）到（5，1）的矩形区域
! (2)定义单元类型、实常数、材料参数、指定单元划分时的单元大小，并将实体划分为面单元
ET,1,PLANE82,,,3 ! 定义第1类单元为带厚度的平面单元PLANE82
R,1,1 ! 定义单元的第1类实常数:厚度为1
MP,EX,1,3e10 ! 定义第1类材料的弹性模量EX=3e10 N/m2
MP,PRXY,1,0.3 ! 定义第1类材料的泊松比PRXY=0.3
Esize,.2 ! 设置单元划分是单元的大小为0.2m
amesh,1 ! 对1号面执行面单元划分操作,得到有限元模型
FINISH ! 退出前处理模块
! (4)在求解模块，定义位移约束、荷载并开始求解
/SOLU ! 进入求解模块SOLUTION
DK,1,all ! 固定最左端下边缘的1号关键点
DK,2,uy ! 约束最右端下边缘的2号关键点的Y方向位移UY
SFL,3,PRES,5000, , , , ! 在上表面的3号线上施加压力荷载，大小为5000N/m
SOLVE ! 开始求解
FINISH ! 退出求解模块
! (5)在后处理模块绘制变形图和节点应力云图
/POST1 ! 进入后处理模块POST1
SET,1 ! 读入第1个荷载步的计算结果
PLDISP,2 ! 显示变形图(保留原结构轮廓)
/DEVICE,VECTOR,1 ! 切换显示风格为矢量线方式
PLNSOL,S,X ! 在图形窗口显示节点上的X方向正应力
PLNSOL,S,Y ! 在图形窗口显示节点上的Y方向正应力
PLNSOL,S,XY ! 在图形窗口显示节点上的XY方向的剪应力
PLNSOL,S,1 ! 在图形窗口显示节点上的第一主应力
PLNSOL,S,3 ! 在图形窗口显示节点上的第三主应力
PLNSOL,S,EQV ! 在图形窗口显示节点Mises应力
FINISH ! 退出后模块