加强几何直观突显数学本质.doc

2012年东莞市小学数学教研会】

参 评 教 学 论 文

题目： 加强几何直观 突显数学本质

姓 　 名： 罗旭泉

单 位： 桥头镇中心小学

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加强几何直观 突显数学本质

【内容摘要】
新课标修订稿第一次提出注重发展学生的“几何直观”能力。几何直观在中学渗透得很多，但在小学阶段很少人会关注。但在很多情况下，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。在小学数学教学中如何沟通几何直观与数学本质的联系呢？渗透对学生几何直观能力的培养，为学生分析问题、解决问题能力的发展提供了“拐杖”，有助于更好地衔接中、小学教学，为学生进一步的数学学习奠定基础。本文通过加强对几何直观的运用，突显数学的本质，探索其运用的教育价值，寻求几何直观在教学中运用的有效策略。
【关键词】几何直观 数轴 图形语言 数学本质 思想方法

一、以数轴搭桥，沟通概念教学与几何直观之间的联系
现代数学的特性之一是每个领域的之间的界限的划分不是特别的明显，某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使这些复杂多样的分类变得简单明了，在它们之间起着纽带的联络作用。数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。比如把自然数比喻成一条射线，都有一个起点，没有终点，可以无限延长。
又如《负数》一课中，应引导学生从本质上理解正负数的意义，“0”在这起着举足轻重的作用。在教学中，我们可以先展示一个不完整的温度计（没有0的温度计），让学生在温度计上找出5℃和-5℃。学生找不出-5℃，发现温度计有问题，进而修改温度计，课件显示“0℃”。接着通过动态的温度计的演示，对于认识“0是正数和负数的分界点，既不是正数也不是负数”便水到渠成了。将温度用正负数的形式标在温度计时，借助温度计让学生直观形象地感知正负数在温度计上相应的位置，为抽象认识数轴奠定基础。接着，把直观的温度计逐渐转变成半直观半抽象的数轴，建立了数轴的模型，帮助学生进一步理解负数的意义，为抽象认识数轴积累了丰富的表象。最后出示完整的数轴，由温度计演变为数轴，有具体的温度演变为一般的数。学生经历了从形象思维过渡到抽象思维的过程。利用数轴还可以比较正负数的大小，表示正数的点在原点的右边，要表示的数越大，这个点到原点的距离也就越远；表示负数的点在原点的左边，这个点到原点的距离越远，则这个负数就越小；0在数轴上是用原点来表示的。在认识负数以前，学生常常认为 “0”是最小的数，或者表示“没有”，现在再通过数轴来看数字“0”。就得重新认识它的地位和意义了，它不再是最小的数，更不能表示“没有”。因为0℃是最低温度吗? 0℃能表示没有温度吗?不是的，0℃只是正数和负数的分界点。我们利用数轴可以开阔解题思路，解决诸如表示点的位置，进行数的大小比较等问题。借助数轴这个几何图形来处理数的问题，它是沟通数与形的桥梁，是数与形的碰撞、联姻。体现了数形结合的数学思想方法。把数的概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。数轴不但能将抽象的数直观形象化，而且有助于理解。
二、巧用“面积图”，培养用“图形语言”来思考问题能力
b
a
c
b
a
c
数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。利用数学思想进行教学和学习，才能真正实现数学能力的提高。乘法分配律是四年级数学教学的重点和难点，怎样才能上好这节课 。本节课的重点不是放在数学语言的表达上，而是应该把重点放在让学生解决一系列的“问题”，去完整地感知乘法分配律，主动建构乘法分配律。应该为学生提供充分例证，形成清晰表象。小学生认识事物带有很大的具体性和直观形象性，只有当其对准确而具体的材料感知到一定数量和一定程度，才能开始抽象思维。我尝试了以“面积图”为载体。出示了下图：

学生比较容易得出阴影部分的面积+白色部分的面积，列式为a×c+b×c的方法或拼成的长方形的长（a+b）乘宽c，列式为（a+b）×c。其实这就是乘法分配律。通过这样的一个面积图，学生很直观形象地理解了乘法分配律。还可以解决实际生活中的实例如：王师傅在给墙壁贴瓷砖（如下图），他一共贴好了几块瓷砖呢？（用两种方法）

方法一：先算黄色的瓷砖共有多少块？再算红色的瓷砖贴了多少块？再把两个结果合并一起。
列综合算式：4×3+6×3＝30（块）
方法二：先算一大行共有多少块？再算3大行一共有多少块？
列式为：（4+6）×3＝30（块）
学生发现可以用等号把两种方法的算式连接起来。4×3+6×3＝（4+6）×3通过看图学生很容易找到解决问题的办法，对于理解乘法分配律就比较到位了。
三、以“线段图”求解，理解抽象的数量关系
线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。借助“线段图”以形助教，使抽象的数量关系变得简明，把复杂的数学问题直观化。如在解决下面问题时，利用线段图学生更易于理解。“一列火车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，离中点还有60千米，甲、乙两地的路程有多少千米？”学生很容易找到对应的量60千米和对应的分率（—）的对应关系。用除法求出单位“1”的量，即全程。

又如在教学人教版四年级下册《植树问题》这节经典课时，很多老师特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，“两端都种”“只种一端”和“两端都不种”，要求学生背公式地记住“加一”“不加不减”“减一”这三种情况。这种机械的记忆，当时上课的效果还好，但过一段时间就会记不住，这反映了学生只是在“机械应用”，思维的灵活性却明显不够。“植树问题”的本质就是一一对应的问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。因此，本节课真正重要的应是“一一对应”的数学思想，应该用对应思想统领课堂。在渗透对应思想时，可以尝试通过以下两个层次的画图以帮助学生理解。
第一次画图：引出问题：“植树节到了，四（1）班的同学们植了一行10棵树，为了美化环境，同学们又在每相邻的两棵树中间摆一盆花，一共可以摆多少盆?” 学生画图探究。（用 表示树，用 表示花）

接着把树的棵树改为20棵、1000棵，让学生说出：“开头是树，结尾是树，一棵树对应着一盆花，一棵树对应着一盆花……最后一棵树没有花与它对应，所以树的棵树比花的盆数比多1”。也就是花分别有19盆、999盆。为了避免学生的思维定势，先摆花，再在相邻的两盆花之间种树。学生通过画图悟出：“开头是花，结尾是花，一盆花对应着一棵树，一盆花对应着一棵树…最后盆花没有树与它对应，所以花的盆树比数的棵树多1。”

通过这样的一个“种树摆花”的活动，学生借助于画图和“一一对应”的方法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系，不知不觉中，学生从中体会到了“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的个数始终相差１。初次渗透了“一一对应”的数学思想方法。
第二次画图：因为例题的数据较大，不方便学生画图，因此改变例题的数据：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共能栽多少棵？学生尝试画图表示，

引导学生用一一对应的思想说出：“开头是树，结尾是树，一棵树对应着一端5米长的路（即间隔长度），一棵树对应着一端5米长的路…最后一棵树没有路与它对应，因此，树的棵树比路的段数多1”。接着把路延长到100米，学生同样用这种对应的思想方法分析问题。对于“两端都不种”和“只种一端”都可以归结为用“一一对应”的方法解决。学生就不需要再死记公式，而是不管是什么的种法，都可以用一一对应的方法找到正确答案。

两端都不种时，画图如下：
引导学生发现说出：“开头是路，结尾是路，一段路对应着一棵树，一段路对应着一棵树…最后一段路没有树与它对应，因此，路的段数比树的棵树多1，所以树的棵树是4-1=3（棵）。
在只种一端的情况，画图如下：
因为开头的是树，结尾的是路，一棵树对应一段路，一棵树对应一段路…最后没有剩下的了，所以路的段数和树的棵数一样多。
再把植树问题的解决方法应用到路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等等。只要找出问题中谁和谁是“一一对应”就能解决这些问题了。如在锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应；爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应；排队问题里，人数和间隔数一一对应等。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一思想方法逐步深入人心，最终将内化为学生的数学素养。
每位学生经历两次不同层次和目的的画图，通过比较、分析发现植树问题的本质所在。不是简单地让学生记住三种不同的情况应该是加一、减一还是不加不减，而是回归到问题的本质，利用形象直观的线段图作支撑，用“一一对应”的思想统领三种不同的情形，形成较好的思维模式，为学生更好地理解抽象的数量关系，减轻记忆的负担。
四、用图形“说话”，有机渗透数学思维方法
六年级学生学习函数思想是在已经掌握了很多的数量关系，如：单价、数量和总价；路程、时间和速度；工作总量、工作效率和工作时间的关系……其实当这些数量关系中的一种量一定时，另外两种量在变化时就成了函数。当学生学习了“正、反比例关系”时，在直角坐标系上把具有这种关系的两种量表示出来，实际上就是正比例和反比例函数的图像了。小学阶段主要是渗透为主，借助于图像，让学生让更深入理解抽象的函数关系。当成正比例关系时，一个量增加，另一个量也随着增加，是一条经过原点的上升的直线；当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少。根据图像可以直观地看出两个量变化的极限状态，一个量趋于无穷，另一个量趋于零。
在解决经典题“鸡兔同笼”的问题时，“鸡兔共8只，有22只腿，鸡兔各几只？”除了画图理解，先假设全是鸡，再在鸡的基础上添上腿，换成是兔（如图一）。还可以用“面积图”理解。利用长方形的面积公式计算组合图形的面积。（如图二）
8个头
2只腿
22只腿（即总面积是22）
4只腿
图二

图一

“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。在思考数学问题的时候，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把数学本质的东西显现出来。在数学课堂教学中尝试通过引导学生用图形解释、理解、分析、记忆数学知识或现象的研究，探索出有效发展学生用“图形语言”来思考问题能力的方法，实际上就是几何直观在发挥优势。培养学生几何直观能力，有利于学生思维内涵的发展、品质的提升，有利于学生数学素养的培养，这正是我们数学教学着力追求的目标。借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思维方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

【参考文献】
[1]夏俊.几何直观在低段数学中的运用研究 [J].上海教育科研.2012（2）
[2]费海燕.数形结合.提高小学生数学学习能力
[3]斯苗儿.小学数学课程标准(2011版)解读
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