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测量精度指测量的结果相对于被测量真值的偏离程度。在测量中，任何一种测量的精密程度高低都只能是相对的，皆不可能达到绝对精确，总会存在有各种原因导致的误差。为使测量结果准确可靠．尽量减少误差，提高测量精度．必须充分认识测量可能出现的误差，以便采取必要的措施来加以克服。通常在测量中有基本误差、补偿误差、绝对误差、相对误差、系统误差、随机误差、过失误差与抽样误差等。
• 测量误差及其产生的原因
• 测量误差的分类与处理原则
• 偶然误差的特性
• 精度评定的指标
• 误差传播定律及其应用
一、观测误差
当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。
用数学式子表达： △i = Li – X (i=1,2…n)
L —观测值 X—真值
二、测量误差的来源
测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：
1、仪器的原因
① 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。
DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下估读值完全准确无误。
使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。
②仪器构造本身也有一定误差。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。
人、仪器和外界环境通常称为观测条件；
观测条件相同的各次观测称为等精度观测；
观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
三、测量误差的分类
先作两个前提假设：
① 观测条件相同.
② 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。
先看两个实例：
例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。
丈量结果见下表5-1：
尺段数
一
二
三
四
五
···
N
观测值
30
60
90
120
150
···
30 n
真实长度
30.04
60.08
90.12
120.16
150.20
···
30.04n
真误差
-0.04
-0.08
-0.12
-0.16
-0.20
···
-0.04 n
可以看出：
误差符号始终不变，具有规律性。
误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。
误差对观测结果的危害性很大。
例 2：
在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。
大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右
可以看出：
② 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任何规律性。
② 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响

引进如下概念：
1.系统误差 ---- 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差具有规律性。
2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。
3.粗差----观测中的错误叫粗差。
例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。
一旦发现，应及时更正或重测。
(二) 测量误差的处理原则
在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。
系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。
消除系统误差的常用的有效方法：
① 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。
② 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。
③ 采用合理的观测方法：如对向观测。
研究偶然误差是测量学的重要课题。
消除或削弱偶然误差的有效方法：
① 适当提高仪器等级。
② 进行多余观测，求最或是值。
偶然误差的特性
⑴ 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；
⑵ 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；
⑶ 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；
⑷ 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。
用公式表示为：
实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。

若误差的个数无限增大(n→∞)，同时又无限缩小误差的区间d△，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。 即当n→∞时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。
正态分布曲线的数学方程式为
为标准差，标准差的平方为 方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：
正态分布曲线的数学方程式为 :
， ，
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。
2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之，△愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误差的第一和第二特性。
3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标： △拐=±
如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征。

观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；
观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；
具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；
具有 较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。
最大纵坐标点：

5-2 衡量观测值精度的标准
一.中误差
误差△的概率密度函数为：
标准差：
在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：
m=
① 标准差σ中误差 m 的不同在于观测个数 n 上；
② 标准差表征了一组同精度观测在(n→∞)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；
③ 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精度指标；
④ 所以中误差是标准差的近似值估值；
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ。
必须指出：
同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。
同精度观测值具有相同的中误差。
例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″；
第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
试求这两组观测值的中误差。
由m=
解得：m1=±2.7″ m2=±3.6 ″
可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高

二、容许误差（极限误差）
根据正态分布曲线，误差在微小区间d△中的概率：
p(△)=f(△) ·d△ 设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：

分别以k=1,2,3代入上式，可得：
P(︱△︱≤m)=0683=68.3℅
P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅
P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅
由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。
由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到， 故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或 称为“限差”即△容=2m
三、相对误差
在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。
例如: 用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。
为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。
相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即。
上例为 K1= m1/L1=1/10000,
K2= m2/L2=1/2000
可见: 前者的精度比后者高。
与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。

§5-3 算术平均值及其中误差
一、观测值的算术平均值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次出该未知量的最或然值。 ，观测值为L1、L2……Ln，现在要根据这n个观测值确定
设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为∆i= Li-X (i=1,2…n)
将上式相加得
或
故
设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值， 即
以∆X表示算术平均值的真误差，即
代入上式，则得
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，
∆x趋近于零，即:
也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值
二、算术平均值的中误差公式
现在来推导算术平均值的中误差公式。
因为
式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为

故该式即算术平均值的中误差公式
三、同精度观测值的中误差
同精度观测值中误差的计算公式为
而
这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即
因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差，即

为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。
用改正数计算最或然值中误差的公式为
§5-4 误差传播定律
在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律
一、倍数的函数
设有函数：
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。
设x和z的真误差分别为△x和△z则：
若对x 共观测了n次，则：
将上式平方，得：
求和，并除以n，得
因为 所以
即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数
例： 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。
解：由题意：
SAB=500×Sab=500×23.4=11700mm=11.7m
mSAB＝500×mSab＝500×（士0.2）
=土100mm＝土0.1m 最后答案为：SAB=11.7m士0.1m
二、和或差的函数
当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为
这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。
例设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。
解：因为全长S=L＋L＋……＋L（式中共有n个L）。而L的中误差为m。
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比
例如以 30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为

当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为
式中，S的单位是公里。
即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。
水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。
水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。
在水准测量作业时，对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用 式计算高差的中误差；
对于起伏较大的地区，则用 式计算高差的中误差。
三、线性函数
设有线性函数：
则有：
四、一般函数

本章小结
1.测量误差及其产生的原因
⑴ 仪器的原因 ⑵人的原因 ⑶ 外界环境的影响
2.测量误差的分类与处理原则
⑴ 系统误差 ---- 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。
⑵ 偶然误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”
⑶ 误差的处理原则
系统误差对观测结果的影响显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对情况不明的系统误差，采用不同时间的多次观测。
消除系统误差的常用的有效方法：
① 检校仪器 ② 求改正数 ③采用合理的观测方法。
研究偶然误差是测量学的重要课题。
消除或削弱偶然误差的有效方法：
1 适当提高仪器等级
2 进行多余观测，求最或是值
3. 偶然误差的特性
⑴ 在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；
⑵ 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；
⑶ 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；
⑷ 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零
4. 观测成果的精度评定指标
⑴.中误差 观测个数总是有限的…n m=
中误差是标准差的近似值估值；同精度观测值对应着一个误差分布，即对应着一个标准差和中误差。
⑵. 极限误差
偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，故以2倍中误差作为允许的误差极限，△允=2m
⑶. 相对中误差
用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量,即m/L=1/N。