1、
《2.3.1 数学归纳法》同步练习5
1. (3分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边的项为( )．
A. 1 B. 1＋a
C. 1＋a＋a2 D. 1＋a＋a2＋a3
2. (3分)用数学归纳法证明“＜n＋1(n∈N＋)”的第二步如下：
当n＝k＋1时(n＝1已验证，n＝k已假设成立)，
这样证明：＝＜＝(k＋1)＋1，
∴ 当n＝k＋1时，命题正确．
此种说法( )．
A. 是正确的
B. 归纳假设写法不正确
2、
C. 从k到k＋1的推理不严密
D. 从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
3. (3分)关于自然数n的命题，如果当n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立. 现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )．
A. 当n＝6时该命题不成立
B. 当n＝4时该命题不成立
C. 当n＝6时该命题成立
D. 当n＝4时该命题成立
4. (3分)若命题p(n)对n＝k成立，则对n＝k＋2也成立．又若p(n)对n＝1成立，则下列结论正确的是( )．
A. p(n)对所有自然数n成立
B. p(n)对所有正偶数n成立
C. p(n)对所有正奇数n
3、成立
D. p(n)对所大于1的自然数n成立
5. (3分) 用数学归纳法证明等式，当n＝1时，左边的项是________，从k到k＋1时，左边需增添的项是________________．
6. (3分)完成下列命题由P(k)→P(k＋1)的变换过程，写出P(k＋1)的命题形式(k∈N＋)：
(1)若P(k)：＜k＋1(k≥1)，则P(k＋1)：________________________________________________________________________；
(2)若P(k)：≥(k≥1)，则P(k＋1)：____________________
4、
7. (3分)已知n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面个数为f(n+1)比f(n)增添的项数是________．
8. (3分)已知数列{an}的各项均不为0，且满足an＋1＝，若a1＝2，a2＝1，a3＝，…，则an＝________.
9. (3分)用数学归纳法证明“当n∈N时，是14的倍数”的过程中，当n＝k＋1时，可变形为_______________．
10. (7分)求证：当n为正奇数时，7n＋1能被8整除．
11. (7分)证明：．
5、
12. (9分)已知{an}中，a1＝2，且2an＋1＝an＋1.
(1)应用归纳法猜想an；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
数学归纳法
1. C 2. D 3. B 4. C
5. 2
6. (1)＜(k＋1)＋1
(2)≥
7. k－1项
8.
9. 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
10. (1)当n＝1时，71＋1＝8，能被8整除；
(2)假设n＝k(k为正奇数)时，7k＋1能被8整除，设7k＋
6、1＝8m，m∈N，
则当n＝k＋2时，
7k＋2＋1＝72·7k＋72－72＋1＝72(7k＋1)－48＝49×8m－8×6＝8(49m－6)，
∵ 49m－6∈N，
∴ 命题成立．
即n＝k＋2时，7n＋1能被8整除．
根据(1)(2)可知，当n为正奇数时，7n＋1能被8整除．
11. (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，
∵ 左边＝右边，
∴ 当n＝1时，等式成立．
(2)假设当n＝k时，
成立
那么，当n＝k＋1时，
＝
＝.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)(2)可知，当n∈N＋时，
12. (1)∵ a1＝2，2an＋1＝an＋1，
∴ 当n＝1，2，3，4时，可得
a2＝(a1＋1)＝，a3＝(a2＋1)＝，
a4＝(a3＋1)＝，a5＝(a4＋1)＝，
由此猜想an＝(*)．
(2)用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，a1＝＝2，与已知相符，(*)成立．
②假设当n＝k时，猜想(*)正确，即ak＝，则当n＝k＋1时，由已知，得
ak＋1＝(ak＋1)＝＝·＝，
即n＝k＋1时，猜想(*)也成立．
根据①②可知，猜想an＝对一切n∈N＋都成立．
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