力场与温度分布 分子运.doc

温度在力场中的梯度分布律
朱顶余

江苏省涟水县保滩中学(223405)
E-mail: h.l.zdy@

摘 要：本文首先指出，单原子理想气体分子飞行在自由程中由于受到重力作用，分子的动能必将随其位移而递变，可称其具有动能梯度；梯度属于一种矢量；还指出，人们不仅关注矢量的大小，更在乎矢量的取向；文中尤其强调了，在重力场中飞行的粒子的动能梯度的方向取决于重力方向，亦即在重力场中飞行的粒子具有方向一致的动能梯度。
接着指出，由代数学可知大小有别的同向矢量的平均量肯定不等于零；复合运算的次序之颠倒并不影响其计算结果；最后结合热学中所给出的分子动能的平均值正比其温度的定义，顺利导出了值得惊讶的热力学结论——力场（含加速场）能够导致物体内部存在着不等于零的温度梯度。

关键词： 力场 动能梯度 平均动能 温度梯度
1．导言
人们从来不敢相信引力场与温度场一样也会影响物系的温度分布；笔者也不例外，但是本文所得到的严谨而朴素的逻辑结果居然震撼着笔者传统的温度分布观念。
而热统界之所以一直以为力场只能导致物体（气体尤为明显）的密度作不均匀分布，但不能影响物系的温度分布；这不仅是因为力场所导致的温度梯度很微弱（《大气科学》早就明确指出绝热稳衡态的大气柱存在着大约0.97k/100m的温度体梯度），不易检测；更是因为人们并没有从理论上予以清晰而严密的证明；也正是因此，本文仅仅凭借人们所熟知的基础物理学中的基本思想方法——分子运动论；同时结合代数学中的基本逻辑，进行了通俗朴实的谨慎推理；以期能裨益人们对温度分布规律的再认识。
2．相关的数学逻辑
这里只运用两个通俗的数学逻辑：其一，就是一组大小各异的同向矢量之平均量肯定不等于零；其二，就是微商与累和这两种运算的结合与其次序无关。
2.1 一组大小各异的同向矢量之平均量肯定不等于零
其一，就是指一组大小各异的同向矢量的平均量肯定不等于零：

且总有 ，
其中表示任意两个矢量（）之间的夹角。
这是一个最简单不过的数学逻辑；因为只有大小和方向都各异的一组矢量才有可能相互抵消为零；而大小各异的同向矢量只能相互加强，除非全为零；又因其大小各异，所以不可能全为零，也就是说这第式所示的结论毋庸置疑。
2.2 “微商”与“平均”的结合与其次序无关
其二，就是“微商”与“平均”这两种复合运算的结合与（这两种运算的）次序无关（即若颠倒这两种运算的次序并不影响该复合运算的结果）：

其实这就是代数学中常说的所谓的（“运符”）“交换律”，究其实质也就是 “（微商）分配律”；乃属一种常用的计算方式。
2.3 上述两个数学逻辑的结合
如果，则有：

这第式就是将第两式所示的数学逻辑结合使用所得到的结论。这第式所示的数学结论将是下面进行推理的逻辑基础。
3．上述数学结果在热学中的运用
若代表第个分子的热运动动能，即若有；当然还须保持矢量的方向都相同；则必有

又因为在热学中有（为了简便，这里不妨暂且只讨论单原子理想气体）：

其中表示物系某一点的热力学温度；则表示波耳兹曼常数；由此便得到了很有意义的结果：

这里的关键就是要求矢量的方向必须都保持相互一致！这意味着分子的动能梯度必须是由（宏观的）外场（含引力场、加速场）所导致的，即要求外场属于一种宏观力场；因为宏观的力场可以使（单原子）理想气体系统内的每个小局域（子系统）的各个分子具有方向一致的动能梯度。

4．推论
一般而论，在重力场中的粒子始终受到重力的作用，所以在重力场中任何类型的物系（含非理想气体）的各分子也都必然始终叠加着同一方向的动能梯度

这里以重力方向为正方向；其中则表示第个粒子相对于体系（小局域）质心的平动速度也就是说，在重力场中分子还受到重力的作用，分子的动能在位移中必然发生附加的改变——具有所谓附加的“动能梯度” ；这附加的动能梯度正比于力场强度；这是一种（附加）矢量，其方向都与重力方向一致；所以重力场必然迫使（同一小局域的）各分子附加着方向一致的动能梯度。
依第式得知，重力场（含加速场）必然导致物系内各点都叠加着正比于力场强度的温度梯度。
重力场（含加速场）虽然不能使同一个小局域（子系统）每个分子的热运动方向都保持相互一致；但却可以使各个分子附加着同一方向的加速度（即附加着同向的动能梯度），导致物系各点都叠加着一个正比于力场强度的温度梯度！

感谢：浙江大学 沈建其 教授 的参与讨论与实质性指正。
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参考文献

[1] 汪志诚，《热力学·统计物理》（第三版），北京：高等教育出版社，2003.3。
[2] 赵凯华，罗蔚茵，《力学》（第一版），北京：高等教育出版社，1995.7。
[3] 赵凯华，罗蔚茵，《热学》（第一版），北京：高等教育出版社，1998.2。

朱顶余：男。1954年生。江苏省 涟水县 保滩中学 化学教员。酷爱交流、探讨自然科学基础理论。

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只要承认气体内所有分子在自由程中都存在着方向一致的动能引力梯度就好：
分子动能引力梯度的平均值(∑▽E)/n就是分子动能平均值（∑E）/n的引力梯度▽[（∑E）/n]；
即有关系式：(∑▽E)/n=▽[（∑E）/n]；一般地有∑▽B=▽ ∑B；即交换运符次序不影响其结果（即运符交换律）； 而分子动能平均值正比其温度（∑E）/n=βT；其道理就这么简单。

运用“质点系”的相关理论处理单原子理想气体系统所得结果比波耳兹曼积分微分方程(H定理)的推论更朴实明了。
在力场中每个（理想气体）分子（在自由程中）都服从  （热运动）动能定理 ▽E=m(g-a)；设 分子的热运动动能表示成  E=(mu^2)/2；其中m为分子量，u为分子相对于小局域气团的质心的运动速度，即有 u=v-C；其中v为分子的平动速度；C则为气团质心的平动速度；g表示外场加速度，a为（小气团）质心加速度。
（∑E）/n=βT    表示    分子动能的平均值正比于其温度T；β为比例系数；∑“求和”的运符；n表示分子数，T表示当地温度。
∑▽E= ▽∑E  表示“求和”与“梯度”这两种“算符”位置的交换并不影响其结果；其中▽即表示“梯度”。
μMg=(∑▽E)/n=β▽T = -μV▽p  中含有静力平衡条件 V▽p+Mg=0；M=Nm，其中N为摩尔分子数；因为 g≠0；
故因有μMg=(∑▽E)/n=β▽T ，故知 ▽T≠0；又因V▽p+Mg=0，故知▽p ≠0，再由状态方程得，
V▽p+p▽V=R▽T ；故知 p▽V=R▽T-V▽p=(1-Rμ/β)Mg≠0；即▽V≠0；其中V表示摩尔体积，固有Vρ=1；这里ρ则表示摩尔数密度。这里▽V≠0表示，在力场中气体的密度梯度不等于零。
   所有这些都是数理逻辑的结果；这里利用了：
静力平衡条件 ， 状态方程 (含动能温度约定式【（∑E）/nβT】)， 动能定理 ；
获取 力场温梯关联式（μMg=β▽T≠0）以及p▽V=(1-Rμ/β)Mg≠0，V▽p =-μMg≠0。

 即使是 波耳兹曼 积分微分方程，也没有从理论上 导出在重力场中 不仅存在着压力梯度和 密度梯度 同时还必然存在着温度梯度，人们都可以利用静力平衡条件 确定 在力场中必然存在着压力梯度，至于 究竟是否存在着 密度梯度或温度梯度，那就只能靠“维象”经验，因为谁都知道 高空大气稀薄，所以就以为只存在着密度梯度，虽然也观测到了大气的温度梯度但由于太阳的辐射的干扰……因而掩盖了力场所贡献的那部分微小的梯度成分……
但是 密度梯度，压力梯度，温度梯度 这三个梯度 需要三个独立的关联式才能唯一定夺，人们仅仅注意到了状态方程与静力平衡这两个约束条件是不够的， 必须再注意到 “（分子）动能定理”才能唯一确定，究竟 是否存在着温度梯度。

这里需要特别提出强调的是：即使如此 也只能得到定性的结论，因为其中尚存一个未知的比例系数“μ ”，至于其中的“β ”则属于定体比容（这属于已知量），欲进一步澄清这个比例系数“μ ”，必须再挖掘一个关系式……好在，现在已经可以定性地确定：在力场中的平衡态体系 不仅存在着压力梯度和密度梯度，还必然存在着温度梯度！这无疑是迈出了突破性（挑战性）的一大步……
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为了再挖掘出一个潜在着的参量关联式，我们不妨设想有这样一个过程：（在惯性空间）有一个气柱从匀速直线运动开始产生加速度且渐渐增大......这就相当于惯性空间产生外力场且渐渐增大力场强度。此时该气柱也从参量均匀分布状态开始产生且渐渐增大压力梯度、密度梯度以及温度梯度，而且这正比于力场强度的温度梯度一直没有伴生传导热流，即其各局域一直处于热孤立（绝热）状态，各个局域都一直在进行绝热（可逆）“压缩”......虽然各个局域的绝热（可逆） “压缩”的程度不尽相同，但却都具有共同的起点（初始状态）。或曰虽然各局域具有不同的 “压缩”进程但却都处在同一条绝热曲线上。就是因为各个局域一直处于（无热流伴随的）绝热（可逆） “压缩”过程，尤其具有共同的起点（初始状态）。
换言之，在初始状态，体系的一切热力学参量都处处相等，当然 其摩尔熵也处处相等，当其出现加速度且逐渐增大过程，诚然遂即出现了（正比于加速度的）温度梯度但却并未伴生传导热流，故而各局域便开始进行绝热（可逆） “压缩”，依据熵增定律（绝热过程其摩尔熵永不减少，只有绝热可逆的过程才能保持其摩尔熵不再增加）这属于一种“定熵过程”，也就是说各局域的摩尔熵一直保持着初始值不改变，因为体系初始状态各局域具有相等的摩尔熵，所以这种等摩尔熵的关系一直保持不变。这就得到了一个重要结论：在力场中的平衡态各局域具有相等的摩尔熵
（CvlnT+RlnV=常数）；即满足同一个绝热方程： （T^Cv）V^R=新常数。

这个结论对（理想气体）自引力体系很必要；因为只有依据这个绝热方程，再结合 状态方程以及静力平衡条件这个三个约束条件方可唯一确定自引力体系的三个未知函数：即压强分布函数，密度分布函数以及温度分布函数；若对其温度分布函数求导即得精确的温度梯度函数；这时所得的温度梯度已经不再是定性的结论了。

顺便指出，人们在建立声学方程时早就使用着“绝热方程”（被人们称之为“泊松方程”）。（人们使用绝热方程的）理由是，因为声振动过程太快，介质中出现的温度梯度瞬间即逝，来不及驱动（传导）热流，故而近似作一种绝热波动过程，也只有这样所得的声速计算公式才得到测量结果的支持。现在方知，并不是因为“介质中出现的温度梯度瞬间即逝，来不及驱动（传导）热流”，而是这种非惯性运动（振动）所导致的（正比于当地加速度的）温度梯度不管持续多久都不会导致传导热流的产生；因而在可逆的绝热波动过程，介质各点的热力学参量必然被同一个绝热方程所关联。
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 【例题一】参照本文的讨论；解答 自由下落的气球内部为何并无密度梯度、压力梯度，更无温度梯度。
答：依据（热运动）动能定理 ▽E=m(g-a)可知，虽然自由下落的气球内部的每个分子一直在重力的作用下于自由程中作自由下落运动其加速为-g，而气球质心也在做自由下落运动其加速度也是-g，所以其热运动动能梯度等于▽E=m(g-a)=0，因为g-a=0；再仿照上述计算方法可知也就不存在压力梯度和温度梯度。
【例题二】参照本文的讨论；解答 在太空中（无力场空间）做加速运动的气球内部为何出现密度梯度、压力梯度以及温度梯度。
答：依据（热运动）动能定理 ▽E=m(g-a)；可知，虽然外力场等于零，即g=0，但其质心的加速度a并不等于零a≠0
所以存在着热运动动能梯度▽E=m(0-a)≠0；当然也就存在着压力梯度、密度梯和温度梯度。
【习题一】参照本文的讨论及例题；解答 在太空中（无力场空间）做旋转运动的气球内部为何出现密度径向梯度、压力径向梯度以及温度径向梯度？
【习题二】参照本文的讨论及例题；解答 在地球表面，静止着的气球内部为何出现密度铅垂梯度、压力铅垂梯度以及温度铅垂梯度？
【习题三】 论证静态大气层不存在密度水平梯度。

虽然分子在自由程中受到重力的作用具有方向一致的动能梯度 但并不意味着此时气体整体质心必然在作加速运动，因为当且仅当分子具有方向一致的速度才会表现出气体整体质心的宏观运动。
众所周知，静止于地面的气柱（内盛气体的箱子）的质心相对于地面既无速度也无加速度，但该箱子内部的气体分子在自由程中却一直保持着方向一致的动能梯度即具有方向一致的重力加速度，那么为什么整个气体的质心却没有重力加速度呢？因为整个气体质心的加速度应该等于各个分子的加速度的平均（只对于单元系），这里最容易被疏忽的就是器壁一膜层（分子直径的厚度）的分子却叠加着方向一致的器壁反弹加速度（器壁的托力所致），这些加速度的平均值恰好抵消了重力加速速度，但必须注意：这只出现在器壁的一膜层，而在气体内部分子的重力加速度的平均并没有被抵消，所以只是在气体内部存在着温度重力梯度，而在器壁的一膜层则存在着巨大的反弹温度梯度，因为假定器壁属于零度的刚性壁，
由于在气体所有分子的平动动量和等于零，所以气体质心没有速度，即没有宏观运动，但内部气体（器壁的一膜层气体例外）质心一直具有重力加速度，故而也一直具有温度重力梯度。气体质心一直具有加速度不等于一定具有速度，就好比 作匀速圆周运动的物体一直具有向心加速度，但一直不具有向心速度；所以万不可将方向一致的动能梯度与宏观运动相捆绑。
同时依据作用力等于反作用力定律可知，分子之间的动能撞击梯度之和必然恒为零，所以不必担心动能重力梯度被撞击梯度所磨平。
器壁一膜层气体分子的平均动量虽然一直等于零，但其反弹加速度的平均值却一直不等于零，所以具有温度反弹梯度。
总之，一旦存在着宏观的力场热力学体系的分子必然叠加着方向一致的动能场力梯度，即必有温度场力梯度。但由热源引起的温度梯度却未必关联着宏观力场。
器壁层的那部分气体所遭受到的器壁反弹力之和正好等于气体系统的总重力。而容器内部气体的分子的相互碰撞并不能改变其总重量。所以容器内部气体的整体质心是一直具有重力加速度的，而且处处具有相同的重力加速度；所以处处具有动能梯度即处处具有温度梯度；但其处处不具有速度，所以没有宏观运动。
各分子都具有方向一致的动能梯度，即意味着气体的整体质心具有动能梯度，动能梯度即等于其重力，即气体内部处处具有重力； 故其处处具有温度重力梯度。
器壁层内的分子受到刚性器壁反弹力的作用产生方向一致的动能弹力梯度，所以存在着温度弹力梯度，器壁层内分子所遭受到的反弹力的总和正好抗衡气体系统的总重力；因为气体系统内各分子所遭受到的外力冲量之和恒等于零，由于整个气体系统一直保持相对于地面静止（即系统质心的动量变化为零），这被分解为两部分，即器壁层 与非器壁层这两部分各自都具有一定的冲力，只不过恰好互相抵消而已，所以气体的这两部分各自都具有一定的温度冲力梯度。器壁层的温度弹力梯度是很巨大的；而非器壁层内部的温度重力梯度几乎均匀一致且很微弱。这种分析很合乎事理。
T=βρ(z)2/3

1 这个思路简单 就是： 依据“熵增原理” ，运用二元函数的混合（偏）微商与其次序无关的基本法则可以顺利导出平衡态的（同种）单原子理想气体内的“比熵”s0 =dS(V,N)/dN 处处相等的重要结论。

因为依据“熵增原理”绝热封闭的单元系理想气体系统的（总）熵S(V,N)在准静态（可逆）压缩（或膨胀）过程保持不变，用微分式表示即为：dS(V,N)/dV=0；若对此微商再对另一种参量N（摩尔数）进行微商当然也等于零，即对“零”的微商等于零，用混合微分式表达即为：

d[dS(V,N)/dV]/dN=0；现在 再注意到 二元函数的混合（偏）微商与其次序无关的基本法则，即可得到：d[dS(V,N)/dV]/dN=d[dS(V,N)/dN]/dV（=ds0/dV=0）

若引入关系式dV=Adz即得：ds0/dV=ds0/dz=0；故得重要结论，平衡态体系的比熵s0与其位置（坐标）无关。换言之：平衡态体系的比熵处处相等。
对【2楼】说：
统计物理或热力学教材指出：对于（单元系单原子）理想气体的“比熵”或“摩尔熵”的表达式为：
(3R/2)lnT-Rlnρ +c=s0

即有 T=βρ(z)2/3
这就轻松证明了在重力场中平衡态的理想气体系统，温度分布是参考高度z的函数。
奢望也能得到哪位志士的严厉而激烈的批判！谢谢！！！