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第七章 二元一次方程组
第一课时 二元一次方程组和它的解(1)

一、 教学目标：
1． 使学生了解二元一次方程及二元一次方程组的概念.
2． 使学生了解二元一次方程及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解.
3． 通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程支反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性.
教学重点：了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解.
教学难点：了解二元一次方程组的解的含义.
二、 复习与练习：
1． 什么叫一元一次方程？什么叫一元一次方程的解？怎样检验一个数是否是某个方程的解？
2． 列方程解应用题的一般步骤.
三、 新课探究：
问题1：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分.
比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
这个问题可以用算术方法来解，也可以用一元一次方程来解，请同学们选一种方法试一试.
算术方法：胜的场数＋平的场数=9－2=7.
若平0场，胜7场，则得分为7×3=21，不合题意，舍去；
若平1场，胜6场，则得分为1＋6×3=19，不合题意，舍去；
若平2场，胜5场，则得分为2×1＋5×3=17，符合题意；
若平3场，胜4场，则得分为3×1＋4×3=15，不合题意，舍去；
…
所以勇士队这一轮中胜5场，平2场.
列一元一次方程：设勇士队胜了场，则平了场，
根据题意，得
解得，所以.
答:勇士队在这一轮中胜了5场,平了2场.
解后反思:既然是求两个未知量,那么能不能同时设两个未知数?
学生尝试设勇士队胜了场,平了场.让学生在空格中填入数字或式子:

胜
平
共计
场数

得分

那么根据填表结果可知: ①
②
这两个方程有什么共同特点?
(都含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是1)
这里的和要同时满足两个条件:一个是胜与平的场和是7场;另一个是这些场次的得分一共是17分,也就是说,两个未知数和必须同时满足方程①和②.因此,把两个方程合在一起,并写成.
上面列出的两个方程与一元一次方程不同,每个方程都有两个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的方程,叫做二元一次方程.把这两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
结合一元一次方程,二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释: “元”与“未知数”相通,几个元就是指几个未知数; “次”是指未知数的最高次数.
用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场,平了2场,即.
这里的既满足方程①,即;又满足方程②,即.
我们就说是二元一次方程组的解,并记作.
一般地,使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
四、 基础训练：
【例1】 已知方程.
⑴写出用表示的式子; ⑵写出方程的4个解来.
解:⑴原方程可化为:,移项,得:,
所以. ①
⑵在①中分别给一些数值,就可以求出的对应值,把它们入在一起就是原方程的一个解.于是可以求出原方程的4个解为:
;;;.
说明:①原方程去括号时,要乘以括号中的每一项;②移项时要注意改变符号;③第⑵小题的解有无数对.
【例2】 选择题:
⑴下列方程中,二元一次方程是( )
A. B. C. D.
⑵下列六个方程组中,是二元一次方程组的有( )
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
⑶下列各组数中① ② ③ ④是方程的解的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解:⑴在B中,项是二次的,不是一次,应排除;
在C中, 项是二次的,不是一次,应排除;
在D中,只有一个未知数,少另一个未知数,不是二元,应排除;
而A确是二元一次方程,故应选A.
⑵①不是整式方程,故不是二元一次方程组;②中求知项的次数出现了2次,故也不是二元一次方程组;③中一共出现了3个未知数,故也不是二元一次方程组;④、⑤、⑥均是二元一次方程组.故应选择C项.
⑶把①代入方程,左边=,右边=10.
因为左边=右边,所以①是方程的解.
同理可知②也是方程的解,而③和④不满足方程.故应选择C项.
说明:㈠根据下列两条来判断一个方程是不是二元一次方程:①方程中是否只含有两个未知数;②未知项的次数是否为1.
㈡判断方程组是否是二元一次方程组,按照其定义看方程组中的方程是不是整式方程,是否一共只有两个未知数,且未知项的次数是否为1.
㈢判断一组数是不是二元一次方程的解,只要把这一组数代入方程左右两边,若能使两边相等,则是方程的解,若两边不相等,则不是方程的解.
【例3】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解?
⑴,
⑵ ,
解:⑴因为,所以是方程组的解.
⑵因为,所以不是的解.
说明:判断一对数是不是方程组的解,按照定义只需看它是不是方程组中每一个方程的解.具体方法是把这一对数值代入方程组中进行检验,只要不是其中一个方程的解,那么它就不是方程组的解.
巩固练习:
1. 选择题.
⑴在下列各对数值中,满足方程的解是（ B ）
A. B. C. D.
⑵在下列各对数值中,满足方程组的解是（ C ）
A. B. C. D.
⑶在下列各对数值中,满足方程组的解是（ D ）
A. B. C. D.
⑷下列方程中,属于二元一次方程的是（ A ）
A. B. C. D.
⑸下列四个方程组中,是二元一次方程组的有（ B ）
① ② ③ ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2已知二元一次方程,若,则;若,则. (6,)
五、 能力拓展：
【例4】 已知是方程的一个解,则
解:由题意得:.解得:.
同类变式一:已知是方程组的解,则
解:由题意得:.解得.所以.
同尖变式二: 甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的,得到方程组的解为;乙看错了方程②中的,得到方程组的解为.试计算的值.
解:把代入方程②,得,所以.
把代入方程①,得,所以.
所以.
六、 引申提高：
【例5】当为什么值时,方程（※）是一元一次方程?二元一次方程?
解: 因为（※）是一次方程时,项应是零,即有.
所以.
当时,方程（※）为,这是二元一次方程.
当时, 方程（※）为,这是一元一次方程.
七、 课时小结：
1. 什么是二元一次方程?什么是二元一次方程组?
2. 什么是二元一次方程组的解?如何检验一对数是不是某个方程组的解?
八、 课时作业：
课堂作业:教科书第26页 习题7.1 第2题
家庭作业:练习册