第十二届全国“华罗庚金杯”数学邀请赛复赛试题及答案(初二组).doc

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第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题（初二组）
（时间2007年4月21日 10：00~11：30 ）
一、填空题（每题10分，共80分）
1、已知，，则的值为 。
2、已知，则的值为 。
3、在平面直角坐标系中，点P（m为实数）不可能在第 象限。
4、有一只手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：30与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是10：50，准确时间应该是 。
5、如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为 。
6、若10个数据的平均数是，平方和是10，则方差是 。
7、若直线与直线的交点坐标是（，），则的值是 。
8、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。则该校去参加春游的人数为 ；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金 元。
二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程）
9、已知，求下列各式的值：
（1） （2） （3）

10、如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，D为AB的中点，E为AC边上一点，且∠AED＝90°＋∠C，求CE的长。

11、已知是正整数，且与都是完全平方数。是否存在，使得是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由。

12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。问这家原来的电话号码是多少？

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案（初二组）
一、填空（每题10分，共80分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
0

二
11：10
3

2008
270，1400
注：第8题，每空5分。
1-8题参考答案提示：
1、解：因为，即，所以，。
，所以=0。
2、解：由非负性可得：
，，
原式=
3、解：（1）当时，有或，所以或，因此或，即P经过第一、四象限。
（2）当时，有或，所以，因此，即P经过第四象限。
综合得，P不经过第二象限。
4、解：11：10。设标准时间经过了小时，则，解得6小时40分。
5、因为SPAB＋SPCD＝SABCD＝SACD
所以SACD－SPCD＝SPAB
则SPAC＝SACD－SPCD－SPAD
＝SPAB－SPAD
＝5－2＝3
6、解：，，

7、解：，解得，所以，，因此=2008
8、解：设该校去参加春游的人数为a人，则有，解得a =270
设租用45座客车x辆，则租用60座客车（x+1）辆，由题意
若单独租45座客车需要270÷45=6辆，租金250×6=1500元，若单独租60座客车需要（270+30）÷60=5辆，租金300×5=1500元，则有
，解得
∴x = 2
即租45座客车2辆，60座客车3辆，此时租金为：250×2+300×3=1400（元）
二、解答题（每题10分，共40分，要求写出解题过程）
9、解：（1）令，即可得；
（2）比较两边系数，因为，所以；
（3）再令，可得，与（1）中的结论相减再除以2，即可得。
评分参考：第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）题4分。
10、解：作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的平分线交AB于G，交BF于H。…………（1分）
则∠AED＝∠AFB＝∠CHF＋∠C。……………………………………………………（2分）
因为∠AED＝90°＋∠C，所以∠CHF＝90°＝∠CHB。……………………………（3分）
又∠FCH＝∠BCH，CH＝CH。
∴ △FCH≌△BCH。……………………………………………………（5分）
∴ CF＝CB＝4，…………………………………（6分）
∴ AF＝AC－CF＝7－4＝3。………………（7分）
∵ AD＝DB，BF∥DE
∴ AE＝EF＝1.5。………………（9分）
∴ CE＝5.5。………………（10分）
评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给2分。
11、解：不存在正整数，使得是质数。理由如下：…………（1分）
设，，其中，都是正整数，则
。…………………（4分）
若，则不是质数；…………………………………………………（7分）
若，则，于是

，矛盾。…………………………………………………………………（9分）
综上所述，不存在正整数，使得是质数。………………………………（10分）
评分参考：见解答过程。
12、解：设原电话号码为，则升位后为，令，…………（2分）
∴，即，
化简得，的整数），………………（6分）
故，，
∴。…………………………………………………………………………………………（8分）
于是。
故所求的电话号码为859375。…………………………………………………………………（10分）
评分参考：见解答过程，有答案没有过程，只给4分。