1、
完全平方数
如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下：
1、平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。
2、任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
3、完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数。
4、凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数；个位数字是1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
5、除1外，一个完全平方数分
2、解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后，各个指数都为偶数，那么它肯定是个平方数。完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
6、若质数p整除完全平方数a，则。
7、如果a、b是平方数，a=bc，那么c也是完全平方数。
8、两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。
〖经典例题〗
例1、46305乘以自然数a后，乘积是一个平方数，a最小是多少？
例2、有一个自然数，它的2倍是一个整数的平方，它的3倍是另一个整数的立方，这个自然数最小是多少？
〖方法总结〗
这两个题主要用到的是平
3、方数的质因数是成对出现的性质，以此类推，一个数的3次方分解质因数后，质因数的个数是3的倍数。
〖巩固练习〗
练习1：1234567654321×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)
是 的平方。
练习2：已知m,n是自然数，并且1008m=，求m和n的最小值。
练习3：一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字相同，求这个四位数。
练习4：求一个最小的正整数，使它的一半是一个完全平方数，它的三分之一是一个立方数。
〖经典例题〗
例3、已知一个数大于1000小于2000，加上1是完全平方数，它的一半加上1也是一个完全平方
4、数，求这个数。
例4、有一个自然数，它与152的和等于某个数的平方，它与100的和等于另一个数的平方。求这个自然数。
例5、一个两位数加上数字相同、排列顺序相反的两位数所得的和是一个平方数，这个两位数最大是多少？
〖方法总结〗
像这样的题，为了方便，一般我们都先设出这个数，然后根据题意求出这个数的大致范围，然后根据平方差公式进行讨论，在这里，要注意两个数的和与差的奇偶性相同。
〖巩固练习〗
练习1：2008与一个三位数的和是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
练习2：一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
练习
5、3：已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7，如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原四位数。
练习4：一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后是一个完全平方数，加上B的平方后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是多少？
练习5：已知1×2×3×4×…×n＋3等于一个自然数的平方，求n。
练习6：请找出符合下列性质的所有四位数：
(1)它是一个平方数；
(2)开始两位数的数字要相同；
(3)最末两位数的数字要相同。
〖经典例题〗
例6、由6个2和若干个0组成的整数是否有可能是完全平方数。
〖方法总结〗
题目中只给了我
6、们2的个数，说明①和0的个数无关，②和顺序无关。因此我们想到了求和，而看数字和的特征的数只有3和9.再根据平方数的质因数的个数必为成对的，因此一定要是9的倍数。我们以后在解题过程中要善于与我们以前所学过的特性联系起来，用上所学的知识。
〖巩固练习〗
练习1：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数。
练习2：证明11，111，1111，…这串数中没有完全平方数。(n≥2)。
练习3：A是2002个“4”组成的多位数，即，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由。
〖经典例题〗
例7、少年宫游乐宫内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明
7、或暗，十分有趣。这200个灯泡按1～200编号，他们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般的，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
〖方法总结〗
本题是平方数的一个实际应用，要读懂题意，看清每一步的状态变化，只有是n的倍数的灯才会改变，又知：想要改变灯的状态，必须要中间变化奇数次，因此联想到平方数。
〖巩固练习〗
练习1：根据算式1＋3=22，1＋3＋5=，1＋3＋5＋7=，1＋3＋5＋7＋9=。通过观察以上算式的计算规律，请你用这个规律计算1＋3＋5＋…＋2007的结果是多少？
练习2：两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，分别找出这两个连续自然数和三个连续自然数。
练习3：一位现在一百多岁的老寿星，公元年的时候x岁，则此老寿星2001年时多少岁？
数论之完全平方数 第 5 页 共 5 页
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