高三数学第一轮复习：推理与证明人教实验版(B).doc

高三数学第一轮复习：推理与证明人教实验版（B）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
高三第一轮复习：推理与证明

二. 教学目的
1、掌握合情推理与演绎推理的思想方法；
2、掌握常见的直接证明和间接证明方法；

三. 教学重点、难点
1、重点：通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法。体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程。在应用中熟练综合法、分析法及反证法，理解证明原理，掌握证明细节。
2、难点：从实际问题认识命题的条件或结论出发，根据已知的定义，公理，定理，直接推论结果的真实性，从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程。学会用分析法和综合法证明实际问题，并且理解分析法和综合法之间的内在联系。

四. 知识分析
【知识梳理】
1、从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论。
2、人们判断问题经常使用的两种推理是合情推理和演绎推理。
3、合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是由特殊到特殊的推理。
（1）合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
（2）一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了。
（3）合情推理的过程概括为：

4、演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① 大前提――已知的一般结论；
② 小前提――所研究的特殊情况；
③ 结论――根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
5、直接证明中最基本的两种方法是综合法和分析法。
说明：（1）综合法是“由因到果”。即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。
（2）综合法格式—－从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“，”或“”。
（3）分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆证法或执果索因法。
（4）分析法格式—－与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书面表达是“要证……只需……”或“”。
6、一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法。
【要点解析】
1、归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法。归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同本质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。
2、类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式。
类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
3、演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理。演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的。那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论。
4、应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：
第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；
第二步：作出与命题结论q相矛盾的假设q；
第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设，q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真。
第五步：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况。

【典型例题】
例1. 如图，设有双曲线，，是其两个焦点，点M在双曲线上，

（1）若∠，求△的面积；
（2）若∠△的面积是多少？若∠，△的面积又是多少？
（3）观察以上计算结果，你能看出随的变化，△的面积将怎样变化吗？试证明你的结论。
解析：（1）由双曲线方程知，，，
设，，
由双曲线定义，有，
两边平方得，
即，也即，
求得=9。
（2）若∠，在△中，
由余弦定理得，
，∴，
求得，
同理可求得若∠，。
（3）由以上结果猜想，随着∠的增大，的面积将减小。
证明如下：
令∠，则，
由双曲线定义及余弦定理，有

②-①得
所以。
因为，，
在内，是减函数，
因此当增大时，减小。
点评：（1）归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的。观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一。
（2）本题由，，时的∠面积的值的变化猜想到随的增大面积减小的事实，进而要求进行证明，这是一种很重要的题型，同时也体现了运用归纳推理的思想解决问题的方法，要注意认真体会。

例2. 把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质。
解析：如图所示：

由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC，
于是类比平行四边形的性质，在平行六面体ABCD-中，我们猜想：
，
，，且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的。
点评：类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等。我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理。

例3. 如图，已知空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD。

解析：连接BD。
∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD。
又∵EF平面BCD，
BD平面BCD，
∴EF∥平面BCD。
点评：数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的推理往往是由多个“三段论”构成的，在本例题证明中，第一步，实际上暗含着一个一般性原理：三角形的中位线平行于第三边，这是大前提。而对特殊的三角形BAD，EF是中位线，这是小前提。把一般性原理用于前面的特殊情况，便得到结论EF∥BD。
第二步，同样暗含着一个一般性原理（如果不在一个平面内的直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行），这是大前提。而EF∥BD，EF平面BCD，BD平面BCD，这是小前提把一般性原理用于前面的特殊情况，便得到结论EF∥平面BCD。
用符号表示，这两步都遵循如下推理规则：“如果，，则”，这种推理规则叫做三段论推理。
在演绎推理中，只要前提（大前提、小前提）和推理形式是正确的，结论必定是正确的，否则所得的结论是错误的。

例4. 已知a，b，c为互不相等的实数，
求证：。
解析：∵，，
。
又a，b，c互不相等
∴上面三式中至少有一个式子不能取“=”号，
∴ ①
∵，∴，
同理，，
∴ ②
由①，②得。
点评：（1）综合法也是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性。
简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法。
（2）当用，这些不等式性质来证明一个严格不等式（不含“=”号）时，说明所应用的不等式性质中“=”号不成立的原因是必须的。如本例中“因为a，b，c互不相等，所以，，至少有一个不能取‘=’号”，这是必须说明的，另外值得注意的是或，所以要上述三个不等式至少有一个不能取等号，必须a，b，c互不相等，在a，b，c互不相等的情况下，若，则只能，又若，则，这样，就和题设矛盾，∴，于是中的“=”号就不能取。

例5. 已知，求证：。

解析：要证
只需证
∵，故只需证
即
从而只需证
只要证
即，而上述不等式显然成立，故原不等式成立。
点评：分析法是数学中常用到的一种直接证明方法。就证明程序来讲，它是一种从未知到已知（从结论到题设）的逻辑推理方法，具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时，命题得证（应该强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提）。
因此，分析法是一种执果索因的证明方法，这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。
一般来讲，分析法有两种证明途径：（1）由命题结论出发，找结论成立的充分条件，逐步推演下去；
（2）由命题结论出发，找结论成立的必要条件，逐步推演下去。
用分析法证题，是寻求不等式成立的充分条件而不是必要条件，分析过程没有必要“步步可逆”。

例6. 已知，，求证：。
解析：假设，那么，
∴，
即
∴，
∴或
解得且或且，
均与已知矛盾
∴假设不成立，原命题成立。
点评：
1. 用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：
（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；
（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；
（3）导出一个恒假命题。
2. 适宜用反证法证明的数学命题
（1）结论本身是以否定形式出现的一类命题；
（2）关于惟一性、存在性的命题；
（3）结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
（4）结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。
3. 使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n-1个
p 或q
p且q
至多有n个
至少有n+1个
p 且q
p或q

【模拟试题】
1. 已知，（i=1，2，3，…，n），，=1，则的最大值为
A. 1 B. 2 C. D.
2. “M不是N的子集”的充分必要条件是
A. 若，则
B. 若，则
C. 存在，又存在
D. 存在
3. 已知，则关于取值范围的说法正确的是
A. 一定不大于2 B. 一定不大于
C. 一定不小于 D. 一定不小于2
4. 否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为
A. a，b，c都是奇数
B. a，b，c都是偶数
C. a，b，c中至少有两个偶数
D. a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
5. 已知，且，试证：数列或者对任意正整数n都满足或者对任意的正整数n都满足，当此题用反证法否定结论时，应为
A. 对任意的正整数n，有
B. 存在正整数n，使
C. 存在正整数n，使且
D. 存在正整数n，使
6. 已知等差数列有一性质：若为等差数列，则通项为的数列也是等差数列，类比上述命题，相应的等比数列有性质：若是等比数列时，则通项为=__________的数列也是等比数列。
7. 观察下列等式

…
由此猜想：______________。
8. 已知，，，
求证：。
9. 有对称中心的曲线叫做有心曲线。显然椭圆、双曲线都是有心曲线。过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径。
定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1。
（1）写出定理在椭圆（）中的推广，并加以证明；
（2）写出定理在双曲线中的推广；你能从上述结论中得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论。
10. 若下列三个方程：，，中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围。
11. 设函数在上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

【试题答案】
1. A 2. D 3. A 4. D 5. D
6. 7.
8. 解：∵，，
∴要证
只需证明，
即证明，
∵
，
又，，，
∴，
∴成立，
即成立。
9. 所以定理1在椭圆中的推广应为：过椭圆（a>b>0）上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值。
（2）定理1在双曲线中的推广应为：过双曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值。
定理1在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线所在直线的斜率之积为定值。
证明略。
10. 。
11. （1）不是奇函数
（2）有802个解。证明略。

用心 爱心 专心