常微分的试题与答案.doc

1、 解方程
1．解： 令，，则
， ，
，
两边积分得
即为方程的通解。
3解方程
解：令
则：
即
得到
故
即
另外也是方程的解.
4解方程 。
解： 两边同除以，方程可化为：

令，则

即

两边积分得
5、解方程
解：两边同乘以得：

故方程的通解为：
7解方程 ，并求其奇解。
解：令，则，
两边对x求导，得

从得 时，；
从得 ，
为参数，为任意常数.
经检验得 ，（）是方程奇解.
8解Ricccati方程
解：原方程可转化为：
观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为，
代入（*）式得到：
由（**）-（*）得：
变量分离得：
两边同时积分：
即：
故原方程的解为
11、求具有性质 的函数，已知存在
解：令t=s=0 x(0)== 若x(0)0 得x=-1矛盾。
所以x(0)=0. x’(t)=)
两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t].
12、试求分别具有形式为的积分因子各自的充要条件。
解：若方程具有为积分因子，
（是连续可导）

令
， .
，
，
，
方程有积分因子的充要条件是：是的函数，
此时，积分因子为 .
令
，

此时的积分因子为
14、试证明方程： 的任意解的存在区间都是有限的。
证明 显然，方程过的解均存在唯一，而且均可延伸至无穷，但这并不意味解关于可以无限延拓。下证它的存在区间有限。
设是方程适合初始条件的解。令其右方的最大存在区间为。若，则存在区间显然有限。若，取适合，则在上有
或 ，，
两端从到积分得。
由此可得 ，。因此，解的最大存在区间有限。同理可证左方最大存在区间也是有限的。
15、如果函数于带域上连续且关于满足利普希茨条件，则cauchy问题的解于整个区间上存在且唯一，试证明之。
证明: 证明方法类似于教材中定理1.由教材中命题1我们知，方程满足条件的解等价于求积分方程，的连续解，因此我们只要证明上述积分方程的解的存在唯一性即可。
现取 ，

①

易见在上存在且连续。下面证明函数列在上一致收敛。考察级数
，。 ②
取，由①式有
, ③
及 .
利用利普希茨条件及③，得到

于是根据数学归纳法可知：
。
上式右端是正项收敛级数的一般项。由
Weierstrass判别法，知级数②在上一致收敛，因
而函数列在区间上一致收敛。现设，易知在区间上连续，且在区间上一致收敛于。因而对①
式两端取极限，即得
，
解的存在唯一性得证。