勾股定理习题(附答案).doc

勾股定理评估试卷（1）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).
（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长
（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.
7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
8. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）.
（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元
10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.
（A）12 （B）7 （C）5 （D）13
E
A
B
C
D

（第10题） （第11题） （第14题）
二、填空题（每小题3分，24分）
11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
12. 在直角三角形中，斜边=2，则=______.
13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .
14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.

（第15题） （第16题） （第17题）
15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
A
B
C
D
第18题图
7cm
16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

17. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______.
18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.

三、解答题（每小题8分，共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
A
B
C
D
L
第21题图

22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
A
B
C
D
第24题图

25.（14分）△ABC中，BC，AC，AB，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论.

参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分，24分）
11.7；12.8；13.24；14 15. 13；
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20. 设BD=x，则AB=8-x
　　　由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是(8-x)2=x2+42.
　　　所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150万元.
22.116m2；
23. 0.8米；
四、综合探索
24.4小时，2.5小时.
25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2角形时，

证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x
根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2
即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
当△ABC是钝角三角形时，

证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.
设CD为x，则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2
即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2
∴a2＋b2＋2bx＝c2
∵b>0，x>0
∴2bx>0
∴a2+b22.

探索勾股定理测试卷 姓名_________
（满分：100分 时间：45分钟） 成绩_______________
选择题（每题6分）

1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________
A 56 B 48 C 40 D 321

2、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是____________
A 2n B n1 C n2－1 D n2+1
A
B
E
F
D
C

3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________
A 6cm2 B 8cm2 C 10cm2 D 12cm2

北
南
A
东

4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________
A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里

填空题（每题6分）

5、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________
A
B
C
D

7cm

6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

D
B
C
A

7、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。

8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。

三、解答题（每题13分）
9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

A
B
C
D

10、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且
∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？

12、如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c；如图2是以c为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
画出拼成的这个图形的示意图，写出它的名称；
用这个图形证明勾股定理；
设图1中的直角三角形由若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图。（无需证明）
c
c
c
b
a
c
b
a
图1
图2

探索勾股定理（二）

1．填空题
（1）某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米．
（2）有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里．
（3）如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是_________．

2．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长．

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

4．如图2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

5．如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．

勾股定理练习题：练习一：（基础）

等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿＿.　

一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.　

3.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是（）.
A
B

（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定

在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2＋BC2＋AC2=_____．
6．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定

7．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对

8．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n >1），那么它的斜边长是（　　）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1
9.在△ABC中,若△ABC的面积等于6，则边长c=
10.如图△ABC中，则MN=

11.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 10
12.若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，到两直角边的距离相等，则这个距离等于 六根二

13.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

A
B
小河
东
北
牧童
小屋

17km

14、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

3cm

15.校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是1314、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？

16、如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。

A
D
B
C
E
F

提高题：

1、※直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．在中,,边上有2006个不同的点,
记,则=_____.
解:如图,作于,因为,则.

由勾股定理,得.所以

所以.
因此.
3※．如图所示，在中,,且,
,求的长.

解:如右图：因为为等腰直角三角形,所以.
所以把绕点旋转到,则.
所以.连结.
所以为直角三角形.
由勾股定理,得.所以.
因为所以.
所以.
所以.
4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC·PA+PA2的值。
A
B
P
C

5、※如图在Rt△ABC中,，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：

要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）

解：要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。

答案：
选择题
1、B 2、 D 3、A 4、D
填空题
5、① 13 ② 20 ③ 11 ④ 24 ； 649 ； 7、 5 ； 8、 25
解答题
9、28m
10、解：连接BD
A E B
D C

11、根据题意画出图形，已知AE=10,DC=EB=2,AD=17
c
c
a
a
b
b

12、（1）直角梯形

（2） 根据面积相等可得：
化简得：
b
a
（3）

1．（1）2.5　（2）30　（3）30米
2．如图：等边△ABC中BC=12cm，AB=AC=10cm

作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm
在Rt△ABD中AD2=AB2－BD2=102－62=64
∴AD=8cm
∴S△ABD=BC·AD=×12×8=48（cm2）
3．解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm

∴AB2=AC2+BC2=2．12+2.82=12.25
∴AB=3.5cm
∵S△ABC=AC·BC=AB·CD
∴AC·BC=AB·CD
∴CD===1.68（cm）
（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD2+CD2=AC2
∴AD2=AC2－CD2=2.12－1.682
=（2.1+1.68）（2.1－1.68）
=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21
=22×9×0.21×0.21
∴AD=2×3×0.21=1.26（cm）
∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24（cm）
4．解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3m，所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36（m2）
5．解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE
设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，
∴BF=6 cm
∴CF=BC－BF=10－6=4（cm）
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
EF2=CE2+CF2，即（8－x）2=x2+42
∴64－16x+x2=x2+16
∴x=3（cm），即CE=3cm