从两只蚂蚁的对话说起.doc

从两只蚂蚁的对话说起

一天，甲、乙两只蚂蚁在课桌上爬来爬去，玩得正欢．只见甲蚂蚁从三角板的边缘上的一点M（非三角形的顶点）出发，每经过一个顶点就改变一次前进方向，最终绕三角板爬行了一周，回到原来的位置，然后问乙蚂蚁：“你知道，我这一圈共转过了多少度吗？”
“这问题太简单了，当然是180度．”
“为什么？”
“因为每次转过的角正好是三角形的一个内角，三角形的内角和是180度．”
“不对．”
“那你说你转过了多少度．”
“我认为是360度．”
“说说你的理由．”
图1
“你看，如图1所示，我从MABCM，一共转了几次身？”
“3次呀，”
“对呀！在A处转过的是∠1，在B处转过的∠2，在C处转过的是∠3，你说∠1+∠2+∠3是多少度？”
“哦！你每次转过的角应该是三角形的一个外角，而不是内角．”
乙蚂蚁想了一会儿，一拍脑袋，“对，根据三角形的外角和是360度，所以你转了360度．”
甲蚂蚁又说：“如果我从六边形地板一边上的一点（非六边形的顶点）出发，每爬到一个顶点就改变一次前进方向，沿六边形地板的边爬行一周后，回到原来的位置，那我一共转过了多少度”．
这次乙蚂蚁没有马上回答，而是想了想说：“呵呵！这次你骗不了我了，爬行一周，你转过的角度应正好是六边形的外角和，所以还是360度”．
你真聪明，多边形的外角和永远是360°，与边数无关．根据这一特性，很多小明友在学习时，将多边形内角问题转化为外角问题求解，可以起到以不变应万变的良好效果．
例１　一个多边形的每个内角都等于144°，求它的边数．
析解：若根据内角和公式，设边数为n，得（n-２）×180°＝n×144°，解之，得n＝10．这是同学们利用内角和公式求解的常用方法．
若从外角入手，易知每个外角为180°-144°＝36°，又因为外角和为360°，故共有360°÷36°＝10（个）外角，此即所求的边数．
例２　在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）
A、0 B、1
C、3 D、5
析解：因为凸多边形的外角和为360°，所以其所有外角中最多只能有三个是钝角，所以凸多边形的内角中最多就只有3个是锐角．
所以选C．
例3 凸2009边形的内角中非锐角的个数至少有（ ）
A、2002 B、2004
C、2006 D、2008
析解：因为任何多边形的外角和都为360°，所以在2009个外角中，直角或钝角的个数最多３个，因此，在2009个外角中至少有2006个锐角，从而2009个内角中至少有2006个非锐角．
所以选C．
例4　一个凸ｎ边形的内角中，恰有４个钝角，则ｎ的最大值是（　　）
Ａ、５ Ｂ、６
Ｃ、７ Ｄ、８
分析：因为ｎ边形有４个内角是钝角，所以ｎ个外角中有４个锐角，设这４个外角的和为α°，其余（ｎ-４）个是钝角或直角，又外角和为360°
所以α°＋（ｎ-４）×90°≤360°
由此可知ｎ＜８
故ｎ的最大值为７
所以选Ｃ．
例5　凸ｎ边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形边数ｎ的最大值是（　　）
Ａ、４　　　Ｂ、５
Ｃ、６　　　Ｄ、７
析解：因为ｎ个内角中恰有３个钝角，所以在ｎ个外角中恰有３个锐角，其余（ｎ-３）个外角是直角或钝角，又由于ｎ边形ｎ个外角中最多只有４个直角，或３个钝角，而４个直角已显然是不可能的，故ｎ-３≤３，ｎ≤６，即ｎ的最大值为６．
所以选Ｃ．
例6 在凸n边形中，小于108°的角最多可以有（ ）个
A、3 B、4
C、5 D、6
析解：因为凸n边形的外角和等于360°，故当每个外角都是72°时，n=5,因此外角大于72°的角最多有4个，也就是个应的小于108°的内角最多有4个．
所以选B．
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