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跟青年教师谈数学教学
顾汝佐（本文原载《小学青年教师》（数学版）2006年第1、3期）
我国教育家陶行知先生有句名言：
千教万教，教人求真；千学万学，学做真人。
这为我们指明了教学工作的方向。教学工作绝不只是教给学生一些知识，而应该是通过教学过程培养人，培养有道德、有文化、身心健康，对国家、社会有责任感的“真人”，这是任何一门学科都要承担的责任。就数学学科来说，除了必须掌握最基本的数学知识和技能外，更重要的是要学会科学的思维方法，善于分析问题、发现差异，善于解决问题，具有创新意识，树立“我能行”的主动求知的信心，具有克服困难的坚强意志。对于初入学的小学生来说，还需要培养他们良好的学习习惯，如书写端正、自觉检验、错了订正、不依赖他人、按时独立完成自己的任务等习惯。一个真正有作为的人，他的知识和能力大多是自己学习、自己磨炼出来的。我们做老师的必须树立“教书育人”的思想，“育人”在某种意义上比“教书”更为重要。
作为一位数学教师，还必须清楚地了解自己的教学资源。我们的资源来自课本、社会和学生三个方面，运用这些教学资源的程度和方式、时机和可能性是决定教学效果的杠杆。
一、怎样把握课本知识
课本是根据国家课程标准或教学大纲编写的，是教学的主要资源。课本的编排方式和知识的呈现形式是多种多样的。
1.例题加解答，没有任何分析过程。（这是上个世纪三四十年代的课本）
2.全部是习题没有范例。（原苏联曾有过这种形式的课本）
3.前有准备题、例题、解题过程、列式解答，后有“试一试”作为模仿性题目。（现行教材大多是这种形式）
4.一个单元开始用某一个主题引入，例如，呈现一个篮球场，要解决长方形周长、面积，就要用到测量长度，在计算时会出现两位数乘法等，从而成为一个系列。（现行的个别教材采用这种形式）
无论何种形式，教师在使用这个主要资源时，必须知道这部分内容要让学生懂得什么数学知识，学会什么技能，它是在什么知识基础上发展而来的，以后有什么作用。现行数学课程标准把数学教学内容分为四大块，即：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用。这些内容，凡是在小学里学习而到中学不再教学的，都必须达到理解、掌握和简单应用的程度。如整数、小数、分数的概念和四则运算，运算的五大定律，百分数和比例的基础知识，简单几何形、体的特征、简单的几何性质，以及求面积或体积的方法、统计的基础知识和基本技能等。凡是以后到中学还要进一步学习的内容，如概率、视图等，在小学里只是初步认识，有一定的感知，为以后学习做些准备。
数学知识系统性强，每一部分知识都有最基本的数学思想，理解了这些数学思想，在教学中就能抓住知识的本质。例如，整数及其运算最基本的数学思想是十进制和位值原则，因为无论是计数还是四则运算，进位制和位值制都起到决定性作用。分数概念的基本数学思想是等分一个单位，既表示等分所得到的量，又表示两个量之间的关系。
 分数与整数有许多相同之处，也有许多不同的地方。在整数（自然数）里没有相等的两个数，因为自然数是一个单位一个单位累加起来的，而分数则有许多相等的数，如……这是由于一个单位可以无限细分，所以出现许多相等的分数。有些教材在讲分数时，先讲“相等的分数”，从相等的分数中引出分数的基本性质。为什么叫“基本性质”呢？因为分数还有两个性质，其一是：分母不变，分子扩大若干倍，则分数也扩大若干倍。如的分子扩大2倍、分母不变就是，比扩大了2倍。其二是：分子不变、分母扩大2倍就成为，是的。这两个性质在小学里一般不讲。在分数里，比较两个数的大小比整数稍复杂一些，包括分母相同的分数比较大小，分子相同的分数比较大小，分母、分子都不同的分数比较大小三种情况。至于分数的运算，在加减法里，要化成同分母分数，也就是化成单位相同的数才能相加减。分数乘法，从整数乘以几就扩大几倍，发展到乘以几分之几的真分数，就缩小到原来的几分之几，“倍”的概念扩大了。如甲是乙的，实际上就是甲是乙的倍。由于“倍”的含义是翻番、增大的意思，所以小于1的倍数就称为几分之几，而不称为“倍”。分数除法，过去的人们先化成同分母分数，因为单位相同，只要分子相除就得到结果了，如。现在采用的方法虽然与以前不同，但实际的意义是一致的，这可以用分数的两个性质加以分析。
至于小数的概念，意义上跟分数相同，所以有些教材上用“小数是分母为10、100、1000……的分数的一种特殊形式”来定义小数。有些教材避开分数，用实例引出小数，描述性地说明什么是小数。这种描述性的语言，我们不能问“什么叫做小数”，因为学生不好回答。小数的运算又跟整数大致相同，其基本的教学思想也是十进制和位值原则。
百分数、比和比例是生活中普遍应用到的数学知识和数学方法。百分数在教材上常用“一个数是另一个数的百分之几的数，叫百分数”来定义，也有教材上直接定义为“分母是100的分数是百分数”。不论哪一种定义，百分数只是表示两个量之间的关系，不表示一个具体的量，所以百分数不带单位名称。
　　关于比和比例。比是两个数相除，所以可以写成分数形式，如2∶3写成也读作2比3。比是一个式子，除法的性质在比里也有；比例是两个比的式子，成立的条件是这两个比的比值必须相等，它是一个等式。我们把比和比例跟除法、分数沟通以后，就容易解比例了。
至于成正比例或反比例的量，是初步的函数思想，它的应用很广泛，如，汽车以45千米/小时的速度行驶，它走过的路程s（千米）就是时间t（小时）的函数，其中速度是不变量，t是自变量，s是因变量。这样的例子小学生在生活中也常会接触到。
现行教材上已引进概率的初步知识。概率是从数量的角度来研究随机现象，从中获得这些随机现象所服从的规律。概率就是用来表示随机事件发生可能性的大小的一个量。一般随机事件的概率是介于0与1之间的一个数。很明显，小学生必须具备分数的概念之后，可能性的大小才能用概率表示。
关于空间与图形，小学里的内容属于直观几何，也含有一些实验几何的内容，主要分平面图形和立体图形两部分。直线、线段、射线、角、平行线、垂线也都是平面几何图形。距离的概念有同一个平面上点与点之间的距离、点与直线之间的距离、直线与直线之间的距离等内容，这些内容在教材上往往分散在各个知识点中。如“画线段要先确定两个点再画”，“两点之间线段最短”，都是在讲点与点之间的距离。在教学垂线时，出现点与直线之间的距离，平行线之间的距离是线与线之间的距离。
长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆等都是平面封闭图形。有些教材将这些图形染上不同的颜色进行出示，而还有些教材在有颜色图形的下面又画出不涂色的轮廓图，那么到底怎么把握呢？这是一个有争议的问题，如有色的长方形，学生看到的是一个平面，容易忽略长方形的四条边和四个角，特别是四个角不易引起学生的重视。因此，有人主张初学时仍然用轮廓图为好。圆是运用轨迹来定义的，无疑表示的是轮廓，而不是内部的平面。
有些教材上说正方形（体）是特殊的长方形（体）。为什么说是特殊的呢？因为长方形（体）的特征能够包含正方形（体）的特征，反之则不行。如正方形四边相等，对于长方形来说则不能满足，所以，只能说正方形是特殊的长方形。
轴对称图形在小学里多次出现，一般的认知过程应该从形象图上先感知对称，再感知对称轴，然后是轴对称图形。轴对称图形一般分两种情况：一种是图形，如蝴蝶图形等；另一种是对称轴两边两个图形的对称。轴对称图形的最重要的性质是对称轴两边的图形能完全重合，而小学生常常说两边完全一样或一模一样，教学时要把这种生活语言引导到数学语言上来。特别是圆的对称轴，初学时应该与圆的直径加以区分：直径是用线段定义的，对称轴是用直线定义的，应该说圆的直径所在的直线是圆的对称轴。当学生知道了以后，在语言上也可以简化成圆的直径是它的对称轴。
教材上对圆、圆柱、圆锥都是直观感知，不下定义的，可以做一些实验演示，如旋转长方形可以呈现出圆柱形状等。有人自己把圆柱描述为“上下两个底面是等圆，它们之间的距离处处相等”，这样的描述不确切，例如腰鼓也是上下两等圆，距离处处相等，但它不是圆柱体。
方位和视图是不同的概念。方位是指东西南北方向，视图是物体的投影，这两个内容对于学生空间想象力的培养都有好处。初学视图时，不宜用生活用品如茶壶作为例子，因为在小学生看来，不论从正面、上面或左面看，茶壶还是茶壶，体现不出物体的投影。用方木块堆积成简单形体，让学生从不同方位观察，则能获得一个平面印象。按照数学里三视图的规定，物体的视图分为主视图（正面）、俯视图（水平面，从上往下看）和左视图（侧图）。作图的位置规定为：

保持一定的关系，便于看图的人想实物。
总之，教师对于课本上的知识必须达到精通，才能胸有成竹地引导学生观察、体验、验证知识，这是一桶水与一杯水的关系。
二、怎样发掘和利用学生本身的资源
学生是学习的主体，他们对学习的兴趣、意向、他们在学习中反映出来的正确的、模糊的甚至是曲解的或错误的概念或方法，都是我们从学生身上所捕捉到的教学资源。“知己知彼，百战不殆”，就是针对学生的实际，循循善诱。我国古代学者说：“教学之法，本于人性，磨揉迁革，使趋于善。”那时候他们就知道教学要从人的个性出发。“滞者导之使达，蒙者开之使明”，也就是说当学生思想阻滞不进时，要启发引导，使之通达；愚蒙不明时要指点，使之聪明起来。英文“教育”一词源于拉丁文“educare”，本义为“引出”或“发挥”的意思，原本就不是“上所施，下所效”的灌输式教学。
要发掘学生本身的学习资源，教学中必须有几个转变。
1.从公式化的课堂结构转向多样化、创造性的结构。
所谓公式化的课堂结构，以往的模式是：复习旧知识，引入新知识，解答，归纳方法，巩固练习等几个层次。现在强调感受、体验、联系生活实际，逐步又形成了一套新的结构、模式：创设情境（购物、旅游最多），提出问题，猜想，验证，模仿性作业等几个层次。这种公式化的课堂结构，久而久之，易使学生厌烦，挫伤其学习积极性。我们要解放思想，创造各种不同的结构，以吸引学生的注意力，引发其学习兴趣，可以用故事、猜测、比赛、游戏等开头，也可以开门见山直接提出问题，还可以先练习几个已知题目，逐步变化条件，引出新课题。不论哪种结构，必须引起学生的思考。美国教育家杜威认为，传统教育失败的根本原因在于未能在教学过程中给学生以“引起思考”的情境。
一个理想的结构，从引发学生的思想来看，开始是属于开放型的，让学生展开想象的翅膀，各抒己见，在教师引导下，逐步化归为某一种数学思想、数学方法。这时的思维形式是属于收敛型的。然后在举一反三的练习中又从收敛型思维再放开成为较开放型。从开始的开放到后面的放开，必然会出现许多不同的见解，这些不同见解是学生在学习中出现的，就是宝贵的教学资源，其中有许多问题是教师预想不到的。例如，学生在自己的操作中发现，三角形的高常常用虚线表示，他们就会提出自己的见解：三角形的高应该用虚线。这就是一个很好的资源。可以告诉学生不一定用虚线，如直角三角形的两条直角边，互为它的高与底，就不用虚线。
2.从形式活跃转向“活”中有“实”，突出数学思想和数学方法。
数学教学过程中形式活跃是好的，但这只是手段，不是目的。目的是从许多真实事例、有趣的话题中抽象出数学问题，上升到数学方法，这才是目的。我国有句成语叫“画龙点睛”，但仅有课堂里的热热闹闹，“龙”画得不差，但缺少“点晴”，这条“龙”就难以腾飞！例如，加减法的关系，即5+3=8，3+5=8，8-5=3，8-3=5这类问题，把这种关系说成是兄弟姐妹关系，到了课的末尾，教师问学生今天学了什么，学生齐声回答“兄弟姐妹”，令人啼笑皆非。又如，有余数除法，情境是分豆子，有的教师板书课题“分豆子除法”，课内让学生动手分豆子，发现有剩余，认识余数，留在学生脑子里的只是分豆子会有余数，却未能点出在除法运算中，当不能整除时就会有余数，而且余数要比除数小等数学知识。
　　活中有实，悟出数学思想，这往往是学生的弱点，所以会出现许多不确切或机械的理解。抓住这些问题，将其作为教学资源，可以组织学生进行研究。例如，在认识分数时，用大量的图形或实物描述、等分数，到了比较分数大小时，学生会做出＜的结论，他的理由是个苹果总是比个西瓜要小，这就是在认识分数时未能点出这个是对什么而言的，认识还停留在感性认识阶段，未能抽象出分数的本质含义。又如，对于三角形的认识，学生操作很多，用几根小棒摆三角形，最后他们得到的结论是三根小棒能摆成三角形。这显然是不确切的，因为三条线段不一定能围成一个三角形。对于“围成”这个词儿，学生是说不出来的，需要教师的指点。
3.从以教师为主转向以师生对话、讨论为主，让学生独立思考发表意见，进行创造性教学。
大多数教师主观上认识到以教师为主的观念必须转变，但在教学中往往习惯性地流露出来，难以转变。为此，应改变师生互动中教师的习惯：
●让学生多一些独立操作、独立尝试，少一些暗示，少一些师生个别对话，少一些学生集体回答。
●多一些“童趣”，少一些成人化内容。
●多一些建议，少一些统一规定。
●多提问题，少给结论。
●多问一些不一样的想法，少说“同意的请举手”。
●多一些学生互评、自评，少一些教师的“裁决”。
只有这样，才能捕捉到学生在知识理解上的误区，并将其作为教学资源组织讨论或实践。
三、恰当运用儿童生活中和社会中的事例作为教学资源
对小学生来说，他们对生活事例最感亲切，但不要局限于水果、糖果、肯德基、学具、玩具和游戏。学校生活是丰富多彩的，如卫生、环保、体育竞赛、社会公德等都可以用来为数学教学服务，都是教学的资源。
联系实际要恰当，应按年龄特点选取内容。许多小学生家中有电脑，他们有些人已学会上网搜索，应允许他们介绍网上所见到的跟数学学习有关的知识。如果发现课本有不足之处，可以丰富它的内容。例如，课本有估计长度的内容，可是各题之间没有情节的联系，有的教师就运用学校里开展作文比赛发奖品（作业本、像皮、尺子）的事例把课本上几个题目的内容串连起来，成为系列性的、有故事情节的教学内容，教学效果甚佳。
　　要注意在选用实际问题时，不要使简单问题复杂化，数学是简洁明了的。例如，“分数除法”这个教学内容的引入，可以选用学生熟悉的行程问题。如，汽车以60千米/小时的速度行小时，行了多少千米？即60×= 40（千米）。也就是“速度×时间=路程”。反过来，汽车小时行了40千米，平均每小时行多少千米？这是求速度的问题。根据“速度×时间=路程”可知“路程÷时间=速度”，列式为40÷。这个分数除法题怎么计算？可以用乘法逆过来想：因为60×=60÷3×2 = 40，逆过来就是：40÷ = 40÷2×3=60，变式为：40÷= 40÷2×3 =×3 = 40×=60。这样，学生最容易接受，也确信计算过程是正确的，防止越联系越繁琐，学生越难理解。
总之，小学数学教学是一门值得研究的课题，需要我们不断地探索、实践，既要解放思想，又要实事求是。