高中不等式习题精解.doc

高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
1、已知，求的取值范围。
解：
根据已知条件：
所以的取值范围是

2、已知，且，求的取值范围。
解：由已知条件，显然

综上所述的取值范围是

3、正数满足，求的最小值。
解：
（为正数）

4、设实数满足，当时，求的取值范围。
y
解：方程表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线（为常数）与圆在第二象限相切时，取到最小值；（此时，切点的坐标满足，其它圆上的点都满足（因为在直线的上方），当增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足，
因此：
x
所以的取值范围是

5、已知函数满足，，求的取值范围。
解：由习已知得：
设：

所以的取值范围是

6、已知：、都是正数，且，，，求的最小值
解：是正数，

的最小值是5，（当且仅当时）。

o
1 4
X1 x2
x
y
7、已知集合与，若，求的取值范围。
解：
设（*）
当Ø，即方程（*）无解，显然成立，由得
，解得
当Ø，且成立，即： 根据图像得出：
，解得
综合（1）（2）两式，得的取值范围为。

8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。
o

y
x
o
y
x
解一：设，，原题转换为求方程在上有解。
共有两种情况，一种是有两个根，一种是只
有一个根（如图所示），由二次函数的图像和
性质，得方程在上
有实数解的充要条件为：
注：两组不等式分别对应两个图
解得
所以的取值范围是
解二：由方程得
函数的值域就是的取值范围。

所以的取值范围是

二、解不等式
1、
解：不等式与或同解，也可以这样理解：
符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式可转化为 或。
解得：原不等式的解集为

2、.
解：
+
，用根轴法（零点分段法）画图如下：
+
+

-
-
-1
1
2
3

原不等式的解集为。

3、
解：原式等价于
，即 注：此为关键
原不等式等价于不等式组解得：

4、
解：当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得
综合上面各式，得原不等式的解集为：

5、关于的不等式的解集为，求的解集。
解：由题意得：，且
则不等式与不等式组同解
得所求解集为

6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。
解：关于的不等式的解集是，，
或
原不等式的解集是。

三、证明题
1、已知，求证：
证一：

，证毕。
证二：

，证毕。

2、设,为偶数,证明
证： .
①当时, ,0 ,
∴0 ,故 ;
②当有一个负值时,不妨设,且,即 .
∵为偶数时,∴0 ,且
∴0 ,故 .
综合①②可知,原不等式成立
注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出0

3、求证：
证：设向量 ,由 ,得

注意：当∥时，即，，，、方向相同，取等号。
当利用公式证明时，会得：
的错误结论，因为这里取等号
的条件是∥，且、方向相反，根据题设条件，∥时，方向相同，故取不到等号，
计算的结果也使不等式范围缩小了。

4、求证： （）
证一：（）

原不等式成立，证毕。
证二：当时，原不等式为：，显然成立；
假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则

，即取时原不等式也成立。
综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。
注意：此类证明方法称为数学归纳法

5、设，实数满足，求证：
证：
=
当，
‚当，
ƒ当，
综合‚ƒ式情况，原不等式成立。证毕
注：‚ƒ式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用
同号
异号

6、已知：，求证：
证：由已知得：，即
，及基本不等式，代入式得：
解得；
，由式得，
综上得：。 证毕。

7、已知,证明：
证：，
，（）同理得：
‚，ƒ
‚ƒ式两边相加，得

所以原不等式成立，证毕。
注：“”的来由：不等式当且仅当时取等号，得。
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