第三章方程2.doc

3.5．分式方程及其应用
【课前热身】
1．方程的解是x= ．
2. 已知与的和等于，则 ， .
3．解方程会出现的增根是（ ）
A． B. C. 或 D.
4．（06泸州）如果分式与的值相等,则的值是( )
A．9 　B．7 C．5 D．3
5．如果，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D2
【考点链接】
1．分式方程:分母中含有 　　　 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 　 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 　 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 　 .
5．易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
【典例精析】
例1解分式方程：．

例2在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.

例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．
（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．
（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：
① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．
你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．

【课后演练】
1．方程的解是 ．
2．若关于方程无解，则的值是 ．
3.分式方程的解是 ．
4. 以下是方程去分母、去括号后的结果，其中正确的是（　　）
A． B. C. D.
5．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6.分式方程 的解是（　　）
A., B. ,
C. , D.
7． 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？

8.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．

3.6一元二次方程及其应用
【课前热身】
1．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2．关于x的一元二次方程中，则一次项系数是 .
3．一元二次方程的根是 .
4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .
5. 关于的一元二次方程的一个根为1，则实数=（ ）
A． B．或 C． D．
【考点链接】
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中
叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式是
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
【典例精析】
例1 选用合适的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.

例2 已知一元二次方程有一个根为零，求的值.

例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？

【课后演练】
1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________.
2．已知2是关于x的方程x2－2 a＝0的一个解，则2a－1的值是_________.
3．关于的方程有一个根是，则关于的方程的解为_____.
4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0
⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0
A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤

5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为（ ）
A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2
C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
6．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（ ）
A. －1 　　B. 1 　 C. －2 　 D. 2
7．解方程
(1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）；

(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）xx+1=0．

8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．

3.7．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【课前热身】
1．一元二次方程的根的情况为（　　）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
2. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则 ，.x12＋x22＝ .
4．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数；
当m＝ 时，两根互为相反数.
5．若x1 =是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2 = .
【考点链接】
1. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为 .
（1）>0一元二次方程有两个 实数根，即 .
（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .
（3）<0一元二次方程 实数根.
2． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， .
3．易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式；
② 二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
【典例精析】
例1 当为何值时，方程，
（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.

例2下列命题：
① 若，则；
② 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③ 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（　　）
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．
例3 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .

【课后演练】
1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________， ＝__________，(x1－x2)2＝_______.
2．当__________时，关于的方程有实数根．（填一个符合要求的数即可）
3. 已知关于的方程的判别式等于0，且是方程的根，则的值为 ．
4. 已知是关于的方程的两个实数根，则的最小值是 ．

5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　）
Ａ．3或 Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．或1
6．一元二次方程的两个根分别是，则的值是（　　）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m－1 　　 C．m>l 　 D．m<－1
8．设关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若
求k的值.

9．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．