向量代数与空间解析几何ppt课件.ppt

第第第第 7 7章章章章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 1 1 空间直角坐标系空间直角坐标系1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系xzyO空间直角坐标系空间直角坐标系 OxyzOxyz 坐标原点坐标原点 O O坐标轴坐标轴 Ox,Oy ,OzOx,Oy ,Oz右手系右手系坐标平面坐标平面 xOy,yOz ,xOz xOy,yOz ,xOzIIIIIIIVVVIVIIVIII卦限卦限2.点的投影点的投影空间一点M在直线(或轴上)的投影 空间一点M在平面上的投影M2MMM13.点的直角坐标点的直角坐标xyMOzPRQM (x,y,z)有序数组(x,y,z)称为点M的坐标，记为M(x,y,z)x,y,z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.原点O的坐标坐标轴上的点的坐标坐标面上的点的坐标各卦限中的点的坐标的符号討論题討論题4.两点间距离两点间距离设空间中两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),是否应有数轴上两点 M1=x1,M2=x2,有平面上两点 M1(x1,y1),M2(x2,y2),有d=|M1 M2|=|x2 x1|OxyzPRQR1R2P2P1Q1Q2NM2M1由勾股定理M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),特别地，点O(0,0,0)与 M(x,y,z)之间的距离例例1.在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解：解：设所求的点为M(0,0,z).由|AM|=|BM|，得化简求得坐标系坐标系.Oy轴与Oy轴垂直，单位等长；Ox轴与Oy轴交角120(或135)，单位长为Oy轴上的单位长的 倍(或 倍)；直线直线.空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持 平行；作图：作点 P(2,1,3),Q(1,2,-1),R(-2,-1,-1)2 2 向量的概念及其表示向量的概念及其表示1.向量向量向量向量：既有大小又有方向的量单位向量单位向量：模等于1的向量零向量零向量：模等于0的向量(方向任意)，记0.向量相等向量相等：模相等,方向相同，记 a=b负向量负向量：与a的模相等而方向相反的向量，记 a.所有向量的共性：大小、方向，因此定义模模：向量的大小，记|a|,ABabaaa2.向量的加法向量的加法 c=a+bba c=a+b平行四边形法则三角形法则 c=a+bba a1+a2+an运算规律：运算规律：(1)a+b=b+a(交 换 律)(2)(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)(3)a+0=a(4)a+(a)=03.向量减法向量减法ab=a+(b)a1+a2+a3+a4a1a2a3a4ababb4.数与向量的乘法数与向量的乘法a=0=0:a=0模：|a|=|a|方向：0:与a相同0，故|a|a 也与 a 方向相同，且|a|a|=|a|a|=|a|而同时有称 a 为 a 的单位向量.(常被用来表示向量 a 的方向.)5.向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量间的夹角向量间的夹角ab=a,b=b,a限定 0a,b向量在轴向量在轴 u 上的投影上的投影数值数值uOM1u1M2u2M2=|a|cosa,ua(1)(2)uM1M2u1u2M3u3a1a25.向量的分解和向量的坐标向量的分解和向量的坐标例例1.设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又e为与u轴正向一致的单位向量，则事实上,若u1u2,有 且 与e 反向，故 若u1=u2,有 0；又 0故也有 OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N但 称 为 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量.j xyzikO令 i,j,k 分别为沿Ox,Oy,Oz 坐标轴正向的基本单基本单 位向量位向量.记点P1,P2的坐标为x=x1,x=x2；OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N点Q1,Q2的坐标为y=y1,y=y2；点R1,R2的坐标为 z=z1,z=z2.由例1知故有即这是向量 a 在三个坐标轴上的分解式.记则显然 ax,ay,az 便是向量 a 在三个坐标轴上的投影.由于 a (ax,ay,az)称(ax,ay,az)为 a 的坐标；坐标；记 a=(ax,ay,az)显然 0=(0,0,0)向径：向量 OM 称为点 M 的向径.OM(x,y,z)xyz设 M(x,y,z)，则有 OM=(x,y,z).从而 M OM6.向量运算的坐标表示式向量运算的坐标表示式设 a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，R ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk)=(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k=(axbx,ayby,azbz)a=(axi+ay j+azk)=(ax)i+(ay)j+(az)k=(ax,ay,az)例例1.已知a=(4,-1,3)，b=(5,2,-2)，求2a+3b.解解.2a+3b=2(4,-1,3)+3(5,2,-2)=(23,4,0)例例2.设点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，求线段AB的定比分点(定比为-1)的坐标.解解.设分点为M(x,y,z)，作AM和MB.依题意而故有于是特别地当=1时，便是中点7.向量的模与方向余弦向量的模与方向余弦向量的模：向量的模：由两点间距离公式立得向量的方向：向量的方向：与三坐标轴正向间夹角,.Oxyz称,为 a 的方向角方向角 (规定 0,)Oxyz 向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，故 ax=Prjxa=|a|cosay=Prjya=|a|cosax=Prjza=|a|cos 称 cos,cos,cos 为 a 的方向余弦方向余弦，显然，cos2+cos2+cos2a 的单位向量：a 的方向余弦 cos,cos,cos 就是 a 的坐标.=cos i+cos j+cos k=(cos,cos,cos)例例2.已知A(2,2,)和B(1,3,0)，求 AB 的模、方向角和方向余弦.解解.例例3.已知a与三坐标轴的夹角相等，求a 的方向余弦.解：由 cos2+cos2+cos2=1，且=，有3cos2=3cos2=3cos2=1，从而例例4.设有P1P2，已知|P1P2|=2，且与x轴和y轴的夹角分别为 和 ，若P1为(1,0,3)，求P2的坐标.解解.设 P1P2 的方向角为,，有得由 cos2+cos2+cos2=1，有设P2的坐标为(x,y,z)，则同理有 P2的坐标为(2,4)，或(2,2)例例5.解：解：设此求向量为a，则故 3 3 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积1.向量的数量积向量的数量积 一个物体在力 F 作用下沿直线产生一段位移 r，则力F 所作的功为 W=|F|cos|r|rF定义1 对于向量a,b，数量这里0a,b.数量积亦称点积或内积.称为向量a与b的数量积数量积；记为ab.W=Fr由于|b|cosa,b=Prjab，于是ab=|a|Prjab=|b|Prjba运算律：运算律：(1)a2=aa=|a|2.证证 aa=|a|a|cos0=|a|2.(2)ab ab=0.证证 a,b0，aba 或 b为 0时，方向任意，可认为与另一垂直.a,b=cosa,b=0 ab=0.(3)ab=ba.(交换律)(5)(ab)=(a)b=a(b).(结合律)证证 0,(ab)=|a|b|cosa,b(a)b=|a|b|cosa,b显然,a,b=a,b，故(ab)=(a)b 其他情形类似可证.(6)i i=j j=k k=1；i j=j k=k i=0(4)(a+b)c=a c+b c (分配律)证证 (a+b)c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb=a c+b c设 a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk)=axbxii+axby ij+axbz ik+aybx ji+ayby jj+aybz jk+azbx ki+azby kj+azbz kk=axbx+ayby+azbz特别地 aa=ax2+ay2+az2，此外立刻有 ab axbx+ayby+azbz=0.而 a2=|a|2，于是例例1.已知 A(1,1,1),B(2,2,1),C(2,1,2).求 AB AC 及AB与AC的夹角.又证证 因为 AB=(1,1,0)，AC=(1,0,1)所以 AB AC=11+10+01=1从而例例2.ABC中，CB=a,CA=b,AB=c,BCA=.求证余弦定理：c2=a2+b2 2abcos.证证 设 CB=a,CA=b,AB=c，则acbCBAc=AB=CBCA=ab,cc=(ab)(ab)=aa+bb2ab,即 c2=a2+b2 2abcos.例例3.在xOy平面上求一垂直于 a=(4,3,7)的单位向量.解解 设所求向量为 e=(x,y,z)，因为它在xOy平面上，所以 z=0；又因为它与 a 垂直，所以 4x+3y=0；再 e 为单位向量，有 x2+y2=1；联立解得：从而討論题討論题下面结论是否成立？(ab)2=a2b2；ab=ac b=c (消去律)；(ab)c=a(bc)(结合律).2.向量的向量积向量的向量积一根杠杆L一端 O固定为支点，另一端P受到力F的作用，力F与OP的夹角为.我们用力矩表示F对杠杆L转动作用的大小和方向.力矩是一向量，记为 M，其量值(大小)为其方向垂直于OP与 F 所决定的平面,指向符合右手规则.定义2 对于向量a,b，由a和b可确定一个新向量,这里0a,b.向量积亦称叉积或外积.称为向量a与b的向量积向量积；记为ab.ab=模：方向：同时垂直于a和b且按右手规则abab力矩 M=OPF以向量a和b为邻边作平行四边形OABC，abOACBh=|b|sina,b于是其面积 S=|a|h=|a|b|sina,b =|ab|.则高 h=|b|sina,b运算律：运算律：(1)aa=0.证证|aa|=|a|2sin0=0.(2)a/b ab=0.证证 a,b0，a/ba 或 b为 0时，方向任意，可认为与另一平行.a,b=0或 sina,b=0 ab=0.(3)ab=ba.(交换律不成立)证证 a/b时，ab=0，ba=0，结论成立；a/b时，|ab|=|ba|，由右手规则有ab与ba方向相反，故 ab=ba.(4)(ab)=(a)b=a(b)(分配律)证证 =0 或 a/b,上式两端均为 0,自然成立；不妨设 0,则|(ab)|=|ab|=|a|b|sina,b,0且a/b时,|(a)b|=|a|b|sina,b=|a|b|sina,b,且 0时(ab)和(a)b方向相同，故等式成立；同理0时可证；后一等式亦然.(5)(a+b)c=ac+bca(b+c)=ab+ac (分配律)(6)ii=jj=kk=0;ij=k,jk=i,ki=j向量积的坐标式：设 ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk)a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，=(aybzazby)i+(azbx axbz)j+(axby aybx)k=axbxii+axby ij+axbz ik+aybx ji+ayby jj+aybz jk+azbx ki+azby kj+azbz kk=axbyk axbz j aybxk+aybzi+azbx j azbyi=(aybzazby，azbx axbz，axby aybx)ijkab=(aybzazby)i+(azbx axbz)j+(axby aybx)k为便于记忆a/b aybzazby=0，azbx axbz=0，axby aybx=0例例4.a=(2,1,1),b=(1,1,2),计算ab和ba.=i 5j 3k=i+5j+3k解解例例5.求一垂直于a=(2,2,1)和 b=(4,5,3)的单位向量.解解 显然 ab 是垂直于 a 和 b 的.而=i 2j+2k，所以例例6.已知 OA=i+3k,OB=j+3k,求OAB 的面积.OACB解解 平行四边形OABC的面积=|OAOB|,从而3.向量的混合积向量的混合积(ab)c 称为向量 a,b,c 的混合积,记作abc.设 a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，混合积有“轮序置换”性质：(ab)c=(bc)a=(ca)b，或 abc=bca=cab.|(ab)c|是以向量 a,b,c 为棱的平行六面体的体积.这平行六面体的底面积为|ab|,高为h=|c|cos|.其中为 ab 与 c 之夹角.故V=|ab|h=|ab|c|cos|=|(ab)c|容易知道：向量 a,b,c 共面 abc=0.討論题討論题下面结论是否成立？(ab)c=a(bc)；(三重向量积，结合律)ab=ac b=c.(消去律)i+j+k 是单位向量吗？若a,b是任一单位向量，则 ab 是单位向量？4 4 平面及其方程平面及其方程 空间的几何图形均视为空间“动点”的轨迹.于是动点坐标所满足的数量关系(方程)称为该图形的方程.1.平面的点法式方程平面的点法式方程垂直于平面 的非零向量 n 称为 的一个法向量法向量.给定了法向量 n 便确定了平面 的方向.法向量的特征：垂直于平面上的任一向量.若再给定平面上的一点M0便可完全确该平面的位置.平面方程的建立平面方程的建立：已知法向量 n=(A,B,C)，点 M0(x0,y0,z0)，设平面上任一点(动点)为 M(x,y,z)，作向量 M0M =(xx0,yy0,z z0)，由于 M0M 在上，故 M0Mn，n M0M=0，即 A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0.称为平面 的点法式方程.A(xx0)+B(yy0)+C(z z0)=0.(1)2.平面的一般方程平面的一般方程从方程(1)有Ax+By+Cz(Ax0+By0+Cz0)=0.令 D=(Ax0+By0+Cz0),则Ax+By+Cz+D=0.(2)这是三元一次方程，其中A,B,C,D为常数且不全为零.由于(2)与(1)同解，故三元一次方程总表示一张平面：Ax+By+Cz+D=0 平面因此称方程(2)为平面的一般方程.显然，这里系数 A,B,C为法向量 n 的坐标.例例1.求过点M(1,1,3),且与平面x2y+3z=5平行的平面方程.解解.已知平面的法向量 n=(1,2,3),将所求平面的法向量也取作 n，则(x1)2(y+1)+3(z3)=0，即 x2y+3z12=0.例例2.xOy坐标面的方程.解解.xOy平面上动点坐标总满足z=0，故其方程为z=0.另解另解.取法向量k=(0,0,1)，和原点(0,0,0)，则0(x0)+0(y0)+1(z0)=0，z=0.类似地，xOz平面方程为y=0；yOz平面方程为x=0.M1M2M3例例3.求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面方程.解解1.作向量 M1M2 =(3,4,6)，M1M3 =(2,3,1)，取法向量再取点M1得平面的方程 14(x2)+9(y+1)1(z4)=0，或 14x+9y z 15=0.一般地，不共线的三点可确定一个平面.n例例3.求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面方程.解解2：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 (其中A,B,C,D待定.)将点M1,M2,M3代入，得联立解得：故由 D0，得3.平面一般方程的讨论Ax+By+Cz+D=0.(1)D=0：(2)A=0：有n=(0,B,C),ni=0,ni；故方程 By+Cz+D=0为平行(或通过)Ox轴的平面；(3)A=B=0：有n=(0,0,C),n=Ck,n/k；故方程 Cz+D=0为平行(或重合)xOy坐标面的平面；B=0，或C=0：Ax+By+Cz=0为过原点(0,0,0)的平面；A=C=0，或B=C=0；例例4.设一平面通过Ox轴并过点M0(4,3,1),求这平面.解解1.因为所求平面过Ox轴，故 A=0,D=0，故设其方程为 By+Cz=0，将点M0 代入得 3B C=0，C=3B，于是得平面方程 y 3z=0.解解2.因为原点、Ox轴及点M0都在所求平面上，故ni 且 nOM0 于是取 n=i OM0=i(4i 3j k)=j 3k点法式方程为 1(y+3)3(z+1)=0即 y 3z=0.abc例例5.一平面在Ox,Oy,Oz轴上的截距分别为 a,b,c，求该平面的方程(a0,b 0,c 0).解解1.平面过三点 M1(a,0,0),M2(0,b,0)和M3(0,0,c).将点M1,M2,M3代入,确定A,B,C,D，得设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 (其中 D0)解解2.作向量 M1M2 =(a,b,0)，M1M3 =(a,0,c)，取法向量 n=M1M2 M1M3 和点 M1，亦可得这称为平面的截距式方程.5 5 空间空间直线及其方程直线及其方程1.直线的标准式方程直线的标准式方程平行于直线L 的非零向量 s 称为 L 的一个方向向量方向向量.sxyzLOM0给定了方向向量 s，便确定了直线 L 的方向.若再给定直线L上的一点M0便可完全确定该直线的位置.sxyzLOM0M直线方程的建立直线方程的建立：已知方向向量 s=(m,n,p)，点 M0(x0,y0,z0)，设直线 L 上任一点(动点)为 M(x,y,z)，作向量 M0M =(xx0,yy0,z z0)，由于 M0M 在 L上，故 M0M/s，于是称为直线 L 的标准式方程标准式方程(点向式、对称式）.令则有x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt.称为直线的参数方程参数方程(t 为参数)例例1.求过点 M0(4,1,3)且平行于Ox轴的直线.解解.取 i=(1,0,0)为所求直线的方向向量.从而化为参数方程 x=4+t，y=1，z=3.例例2.求过点 M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直线方程.解：M1M2 在所求直线上，故取M1M2为方向向量，于是这称为直线的两点式方程.例例3.求过点M0(1,0,4)且与平面x2y+3z+5=0垂直的直线方程.解：取 s=n=(1,2,3)则化为参数方程 x=1+t，y=2t，z=4+3t.2.直线的一般方程一般地，直线可视为两张平面的交线L：A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0称为直线的一般方程一般方程.L21其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例.由于平面的交线与这两张平面的法向量n1和n2都垂直，n2n1故可取故可取 n1n2为该交线的方向向量为该交线的方向向量.例如x=0 y=0表示Oz轴所在直线y=0 z=0表示Ox轴所在直线x=0 z=0表示Oy轴所在直线zxyO例例4.将直线的一般方程化为标准式方程.解：先找出直线上的一点：取x0=1，代入方程组解得y0=0，z0=2即得到直线上一点(1,0,2).再找出直线的方向向量，取故得对称式化为一般式？对称式化为一般式，例如上例有得容易理解，通过一直线 L的平面可以有无限多，故 L的一般方程不是唯一的.例例5.求过点M0(3,2,5)且与两平面2x y 5z=1,x 4z=3平行的直线方程.解：解：可取 s=n1n2=2,1,5 1,0,4=4,3,1故所求直线为M0例例6.求通过x轴和点M0(3,2,5)的平面与另一平面3x y 7z+9=0相交的交线方程.解：解：先求通过x轴和点M0的平面取 n=i故 5(y2)+2(z+5)=0即 5y+2z=0M0 x0所求直线5y+2z=03x y 7z+9=03.平面和直线间的位置关系(1).两平面之间的相互位置两平面之间的相互位置.法向量之间的夹角(锐角)定义为两平面之间的夹角.设平面为 1：A1x+B1y+C1z+D1=0,2：A2x+B2y+C2z+D2=0,那么平面1和2的夹角 可由确定.两平面垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0两平面平行 例7 求两平面 xy+2z6=0和2x+y+z5=0的夹角.n1=(1,1,2),n2=(2,1,1).解 (2).两直线之间的相互位置两直线之间的相互位置.方向向量之间的夹角定义为两直线之间的夹角.设直线为则直线L1和L2的夹角 可由确定.两直线垂直/平行的充分必要条件？两直线垂直 m1m2+n1n2+p1p2=0两直线平行 (3).直线与平面之间的相互位置直线与平面之间的相互位置.直线和它在平面上的投影直线的夹角定义为该直线与该平面之间的夹角夹角.并规定0/2.ns设：Ax+By+Cz+D=0,因为 n=(A,B,C)与 s=(m,n,p)的夹角为 ，而 ,所以 直线与平面平行 Am+Bn+Cp=0直线与平面垂直 例8 一平面过M1(1,1,1)和M2(0,1,1)且垂直于x+y+z=0，求它的方程.解1 设平面为 Ax+By+Cz+D=0,M1代入：A+B+C+D=0,M2代入：BC+D=0,与已知平面垂直：A+B+C=0,联立解得 D=0,B=C,A=2B,故 2Bx+By+Bz=0,约去B(0)得 2xyz=0.例8 一平面过M1(1,1,1)和M2(0,1,1)且垂直于x+y+z=0，求它的方程.解2 向量M1M2=(1,0,2)在所求平面上；而已知平面的法向量n1=(1,1,1)平行于所求平面；故取 n2=M1M2 n1=(2,1,1)为所求平面法向量.于是得到 2(x1)(y1)(z1)=0,即 2xyz=0.例例9.求由平行线和决定的平面.解解1：由两直线方程知 s=(3,2,1)M1(3,2,0),M2(3,4,1)取 n=s=(3,2,1)(0,2,1)=(4,3,6)sL1L2M1M2 所求平面为4(x+3)+3(y+2)6z=0即 4x+3y 6z+18=0例例9.求由平行线和决定的平面.解解2.设平面为 Ax+By+Cz+D=0,M1(3,2,0)在平面上,代入：3A2B+D=0,M2(3,4,1)在平面上,代入：3A4BC+D=0,又平面法向量 ns：3A2B+C=0联立解得 C=2B,D=6B,A=B,故有 Bx+By2Bz+6B=0,即 4x+3y 6z+18=0例例10.求直线与平面2x+y+z6=0的夹角和交点.解：因为 s=(1,1,2)，n=(2,1,1)，所以已知直线的参数方程为代入平面方程中得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)6=0解得t=1,再代入直线参数方程便得交点x=1，y=2，z=2例例11.设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0 的外一点，求P0到这平面的距离.P0P1n解解.设 P0到平面的垂足为P1(x1,y1,z1)，则而P0P1/n P0P1=n，即 x1x0=A,y1y0=B,z1z0=C因P1在平面上，故A(A+x0)+B(B+y0)+C(C+z0)+D=0.解得代入例例12.求 P0(1,2,1)到直线 的距离.解解.显然 P0为直线外一点.以直线的方向向量为法向量作过点P0的平面，则该平面与直线垂直，而直线与平面的交点(垂足)P1到P0的距离便是所求.P0P1P1点的坐标如何求？见例10例例13.求直线L：在平面 ：x+y+z=0上投影直线的方程.思路思路.因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.L解解1.因为L在所求平面上，故nsL,又所求平面垂直，故nn,于是取n=sLn.sL=(1,1,1)(1,1,1)=(0,2,2)，故 n=(0,2,2)(1,1,1)=(0,2,2).再取L上一点，令x=0,可得y=1,z=0,故所求平面为 (2)(y1)+2(z0)=0，即 yz1=0，从而投影直线为例例13.求直线L：在平面 ：x+y+z=0上投影直线的方程.思路思路.因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.L解解2.设所求平面为 Ax+By+Cz+D=0,因为它与垂直：A+B+C=0,又因它过L,则过L上任两点,在L上取两点(0,0,1),(0,1,0)，代入：C+D=0,B+D=0,联立解得 A=0,B=D,C=D,得方程 Dy+Dz+D=0，即 yz1=0.例例13.求直线L：在平面 ：x+y+z=0上投影直线的方程.思路思路.因为直线L向平面投影，所以先求出通过直线L且与平面垂直的平面方程，则所求平面与的交线便是L在平面上的投影.L解解3.设所求平面为(x+yz1)+(x y+z+1)=0,(待定)过过L的平面束方程的平面束方程即(1+)x+(1)y+(1+)z+(1+)=0,它与垂直，故：(1+)1+(1)1+(1)1=0,得 =1,故所求平面 yz1=0.