专题六不等式学生版.doc

第九节——不等式
【考点整合及典例分析】
考点1.不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则.
【例1】对于实数中，给出下列命题：
①；②；③；④；⑤;⑥；
⑦；⑧，则.
其中正确的命题是____
【例2】已知，，则的取值范围是______

【例3】已知，且则的取值范围是______

考点2. 不等式大小比较的常用方法：
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法 ；
（8）图象法.
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.
【例4】设，比较的大小

变式1、比较1+与的大小

变式2、设，，，试比较的大小

注意点：利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针.
【例5】下列命题中正确的是（ ）

A、的最小值是2 B、的最小值是2
C、的最大值是
D、的最小值是
【例6】若，则的最小值是______

变式3、正数满足，则的最小值为___ ___（你能有几种方法求解？）

常用不等式有：
（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；
（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（证明一下）
（3）若，则（糖水的浓度问题）.
【例7】如果正数、满足，则的取值范围是_________若改成求a+b的范围呢？

考点三、证明不等式的方法：
比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.).
【例8】已知，求证：

变式4、已知，求证：

【例10】求证：.

考点四、不等式的解法
①简单的一元高次不等式的解法：标根法
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集.
【例11】解不等式.

变式5、不等式的解集是

【例12】设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为____

【例13】要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是____ __.

②.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.
变式6、解不等式

【例14】关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______

③.绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）
【例15】解不等式

（2）利用绝对值的定义（3）数形结合
【例16】解不等式

（4）两边平方
【例17】若不等式对恒成立，则实数的取值范围为

④.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”.注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
【例18】若，则的取值范围是

【例19】解不等式

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.
【例20】关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为_____

考点五、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
【例21】设实数满足，当时，的取值范围是

【例22】不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围

【例23】若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____

【例24】若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是__

【例25】若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.

2). 能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
【例26】已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______

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