广东省罗定市三校2012届高三数学模拟联考试题-理-新人教A版.doc

罗定市2012届高三联考模拟试题 数学（理科）
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
参考公式:锥体的体积公式，其中S为锥体的底面面积，为锥体的高.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,只有一项是符合题目要求的.
1．若（是虚数单位），则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知集合,，若,则实数a的取值范围是（ ）
A． (-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
3、若向量，，则=（ ）
A． B． C． D．
4.若函数 （ ）
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
5．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 （ ）
A． B．
C． D．
6．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是( )
A、 B、
C、 D、
7.随机写出两个小于1的正数与，它们与数1一起形成一个三元数组.这样的三元数组正好是
一个钝角三角形的三边的概率是( )
A． B． C． D．

8．设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意，都有成立，则称和在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.若与在上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ）
A. [1，4] B. [2，3] C. [2，4] D. [3，4]
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
否
开始

结束
输入
是
输出

9、二项式展开式的常数项为
10.、执行右面的框图，若输出结果为，则输入的实数的值是

11.某单位为了制定节能减排目标，先调查了用电量
（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，
随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据，得线性回归直线方程，当气温不低于时，预测用电量最多为 度.
12．已知圆的圆心与点关于直线对称，并且圆与相切，
则圆的方程为______________。
13．如图的倒三角形数阵满足：⑴第1行的个数，
分别是1，3，5，…，；⑵ 从第二行起，各行
中的每一个数都等于它肩上的两数之和；⑶数阵共有行．
问：当时，第32行的第17个数是 ；
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
P
A
D
B
C
O
·
14. （几何证明选讲选做题）如图，与⊙相切于点，
为的中点，过点引割线交⊙于，两点，
若，则 .
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的
极坐标方程为，过极点的一条直线与圆
相交于、两点，且，则 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
在中，分别是角的对边，若，。
（1）求角的大小； （2）若求面积

17．(本小题满分12分)
某校一课题小组对西安市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50人，他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
月收入
（单位：百元）

频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
3
1

（1）完成下图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
(2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

18．(本小题满分14分)
在四棱锥中，
，平面，为
的中点，．
(1)求四棱锥的体积；
(2)若为的中点，求证：平面平面；
(3)求二面角的大小．

2

4

19．(本小题满分14分)
设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知点，点P是动点，且三角形的三边所在直线
的斜率满足．
（1）求点P的轨迹的方程；
（2）设Q是轨迹上异于点的一个点，若，直线与交于点M，探究是否存点P使得和的面积满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

21．(本小题满分14分)
已知函数，，其中．w.w.w..c.o.m
（1）设函数，若在区间是单调函数，求的取值范围；
（2）设函数，是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

2012届广东高考模拟试卷参考答案及评分细则
一．选择题
1、B；2、C；3、A；4、D；5、C；6、C；7、D； 8、B。
二．填空题
9．；10、；11．；12．；13．；14、；15、
三．解答题
16．解：（1），， ………2分
； ……………………4分
又，；……………………6分
（2）由正弦定理，得，；………………8分
由，，得； ……………………10分
所以ABC面积；……………………12分

17、解：（1）各组的频率分别是， ………………………2分
所以图中各组的纵坐标分别是：，………………………3分

………………………5分

（2）所有可能取值有0,1,2,3， ……………………6分
， ……………………7分

……………………8分
……………………9分
……………………10分

所以的分布列是

0
1
2
3

……………………11分
所以的期望值是. ……………………12分
18、（1）解：在中，，，∴，……1分
在中，，，∴，…………2分
∴…………3分
则…………………………………………4分
（2）解法一∵平面，∴…………………………5分
又， ， …………………………6分
∴平面………………………7分
∵、分别为、中点，
∴ ∴平面………………………8分
∵平面，∴平面平面……9分
（3）解法一：取的中点，连结，则，
∴平面，过作于，连接，…10分
∵AC，，且，∴…11分
则为二面角的平面角。 ……12分
∵为的中点，，，
∴，又， ……13分
∴，故
即二面角的大小为300……………14分
（2）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz ………………5分
A（0,0,0） B（1,0,0）
……6分
，， …7分
设平面AEF的一个法向量为
由 取，得x=1，即 …8分
又平面PAC的一个法向量为 ……9分
∴平面平面 ……10分
（3）解法二：易知平面ACD的一个法向量为 ……11分
设平面AEF的一个法向量为
由，取，得,…12分
……13分
∴结合图形知二面角的大小为300……………14分
19、（1）证明：当时，，解得．…………………1分
当时，．即．………2分
又为常数，且，∴． ………………………3分
∴数列是首项为1，公比为的等比数列． 　……………………4分
（2）解：由（1）得，，． ………………………5分
∵，∴，即． ………7分
∴是首项为，公差为1的等差数列． ………………………………………8分
∴，即（）． ………………………9分
（3）解：由（2）知，则．
所以， ………………10分
即， ① ……11分
则， ②………12分
②－①得， ……………………13分
故． ………………14分
20．解：（1）设点为所求轨迹上的任意一点，由得，，
整理得的方程为（且）。……4分（注：不写范围扣1分）
（2）解法一、设，
，，，即， ………6分
三点共线，与共线，∴，
由（1）知，故， ………8分
同理，由与共线，
∴，即，
由（1）知，故，…………9分
将，代入上式得，
整理得，由得， …………11分
由，得到，因为，所以，
由，得， ∴的坐标为． …………14分
解法二、设由得，
故，即， ………6分
∴直线OP方程为： ①； …………8分
直线QA的斜率为：，
∴直线QA方程为：，即， ② …10分
联立①②，得，∴点M的横坐标为定值。…………11分
由，得到，因为，所以，
由，得， ∴的坐标为． …………14分
21．解：（1）因 ……1分
， ∵在区间上单调
恒成立 ……2分
恒成立
设F（x）=
令有，记
由函数的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，……4分
∴，于是 ……5分
∴ ……6分
（2）当时有； ……7分
当时有，因为当时不合题意，因此，……8分
下面讨论的情形，
记 求得 A，B=
（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有 ……9分
（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此 ……11分
综合（ⅰ）（ⅱ） ……12分
当时A=B，则，即使得成立，
因为在上单调递增，所以的值是唯一的；…13分
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，
所以满足题意. …14分
10
用心 爱心 专心