河北省衡水中学2012届高三数学调研试卷理(2)新人教A版.doc

2012年衡水中学调研卷理数（2）
一、选择题
．已知集合,其中,则下面属于的元素是 （　　）
A． B． C． D．
．已知数列为等差数列,为其前项和,且,则 （　　）
A．25 B．27 C．50 D．54
．记二项式展开式的各项系数和为,其二项式系数和为,则 （　　）
A．1 B． C．0 D．不存在
．中,,的平分线交边于,已知,且,则的长为 （　　）
A．1 B． C． D．3
．关于的不等式,在上恒成立,则实数的范围为 （　　）
A． B． C． D．
．已知约束条件,若目标函数恰好仅在点处取得最大值,则的取值范围为 （　　）
A． B． C． D．
．已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得到两个圆,若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于 （　　）
A．1 B．2 C． D．
．若函数在区间上至少有两个最大值,则的最小值为 （　　）
A．1 B． C． D．
．某人进行驾驶理论测试,每做完一道题,计算机会自动显示已做题的正确率,则下列关系中不可能成立的是 （　　）
A． B．
C． D．
．将5个转学同学分配到三个班级,每班至少安排一个同学,其中班仅分配一个同学,那么不同的分配方案有______种 （　　）
A．10 B．70 C．100 D．80
．已知是曲线上的任一点,若曲线在点处的切线的倾斜角是均不小于的锐角,则实数的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
．已知是实数,则是的 （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
．已知点为正方体的棱上一点,且,则面与面所成二面角的正切值为_________.
．若椭圆与曲线有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是_________________.
．在中,已知,则下列结论中正确的是_______
①可能为锐角三角形;
②;
③若边均为整数,则的面积最小为.
．定义在上的函数满足,且当时,,则当时,的解析式为__________________
三、解答题
．已知向量,且与向量的夹角为,其中是的内角. (1)求角的大小; (2)求的取值范围.

．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．
（1）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率；
（2）求某选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望E．

．如图5所示,在正方体中,E 是的中点
(Ⅰ)求直线 BE 和平面所成的角的正弦值,
(Ⅱ)在上是否存在一点 F,使从平面?图5
证明你的结论.

．已知函数。
（1）若为上的增函数，求的取值范围。；
（2）证明：。

．设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记｡
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
(III)设数列的前项和为｡已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值｡

．在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论。

2012年衡水中学调研卷理数2参考答案
一、选择题
D B B C A C C B D B B A
二、填空题
②③
(注意解析式的要求,不能只写成)
三、解答题
解:(1)∵ , 且与向量所成角为
∴ ,
∴,∴
∴
又, ∴
第一问:另解: ∵ , 且与向量所成角为
∴

(2)由(1)可知
所以

∵ ∴
∴

（1）记A：该选手第二次抽到的不是科技类题目；
B：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类；
C：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目．
则．
（2）的取值为0，1，2．
；；．
故的分布列为：

0
1
2
P

于是，的期望．
解析:(Ⅰ)设边界曲线上点P的坐标为.当时,由题意知.
当时,由知,
点P在以为焦点,长轴长为
的椭圆上.此时短半轴长.
,因而其方程为.
故考察区域边界曲线(如图)的方程为
和.
(Ⅱ)设过点的直线为,过点的直线为,则直线,的方程分别为

设直线平行于直线,其方程为代入椭圆方程,
消去,得.
由,解得,或.
从图中可以看出,当时,直线与的公共点到的距离最近,此时直线
的方程为与之间的距离为.
又直线到和的最短距离而,所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为年,
则由题设及等比数列求和公式,得,所以.
故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为4年.
解：（1）由题设可知，若为上的增函数，则对恒成立，即对恒成立，
，（6分）
（2）设
，设，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增

。（12分）
解：（Ⅰ）当时，
又

数列成等比数列，其首项，公比是

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
当
当

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则

>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设
则<
当n为奇数时，设
则
<
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数的最小值为4
解：（1）由题意可得， ------------------------------------2分
所以，即 -----------------------------4分
即，即动点的轨迹的方程为 ---------------------5分
（2）设直线的方程为,，则.
由消整理得， -----------------------------6分
则，即. --------------------------------------8分
. ----------------------------10分
直线
---------------------------------13分
即
所以，直线恒过定点. ---------------------------------14分

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用心 爱心 专心