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教本探源求二项展开式的某项或某项的系数
——谈组合推导法的应用
湖南攸县第一中学 洪开科
关键词：组合推导法，通项公式，二项式定理，二项展开式，某项或某项的系数，某项的二项式系数，选取性，有序性
求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点，每年的高考题都有一定的题目出现，人们往往利用二项式定理的通项公式去解决，却忽视了推导二项式定理的原理，组合计数推导法，这是伟大的物理学家数学家牛顿在1665年推导二项式定理方法，我命名为“组合推导法”，多项式的乘法本质是其结果由每个括号中取一项相乘的所有单项式合并同类项得到的。教材中二项式定理的推导就是将(a+b)n看成n个a+b相乘，从每个括号中取一项（非a即b）相乘的所有单项式合并同类项得到的，按取b的个数分为n+1类，不取b的是Cn0an；取1个b的是Cn1an-1b，…，取r个b的是Cnran-rbr，…，取n个b的是Cnnbn，这就是组合推导法。理解了这个方法二项式定理就可信手拈来了，也可按取a的个数分为n+1类写出来。应用组合推导法求二项展开式的某项或某项的系数要注意三点：
第一是选取性，二项式的两项怎样选取（各取几个）才能构成所求的项。
第二是有序性，(a+b)n的展开式第r+1项是取r个b（同时取n-r个a），这里的a、b不能互换。
第三是项、项的系数与二项式系数的区别，某项要把这一项全部写出来，某项的系数只写这一项的系数不要带字母（即把每个字母当作数1），某项的二项式系数就是相应的组合数Cnr。
一、直接求二项展开式的某项或某项的系数.
1．(2014年高考湖南卷)的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5 C．5 D．20
解析：要取2个，故x2y3的系数为= -20，故选A.
2．(2014年高考全国大纲卷) 的展开式中x2y2的系数是 .(用数字作答)
解析：依题要取4个，故x2y2系数是C84(-1)4=70.
3．(2010年高考四川卷)的展开式中的第四项是 .
解析：依题要取3个，故第四项是T4＝
4．(2014年高考四川卷)在x(1+x)6的展开式中，含x3的项系数为( ).
A．30 B．20 C．15 D．10
解析：依题(1+x)6中 x要取2个，故x3的系数为C62 =15，故选C.
5．(2014年高考全国卷1)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数是 .
解析：原式可化为x(x+y)8-y(x+y)8，依题两部分的(x+y)8中x分别要取1个和取2个，故x2y7的系数是C81- C82=-20.
6．(2010年高考辽宁卷) 的展开式中的常数项为_
解析：原式可化为，依题三部分中的x分别要取3个、不能取任何值、取2个，故常数项是C63(-1)3+ C62(-1)4=-5.
7．(2008年高考浙江卷)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．-15 B．85 C．-120 D．274
解析：依题5个括号内 x要取4个剩下一个取常数，故x4的项的系数是-1-2-3-4-5=-15，故选A.
8．(2008年高考四川卷) (1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为 .
解析：依题可分三类：2x不取-x取2个，2x取1个-x取1个，2x取2个-x不取，故x2的系数是C30C42(-1)2+ C31×2C41(-1)+C32×22C40 =-6.
例9．求(x2+3x-4)4的展开式中x的系数.
解法一(化成两个二项式的积)：因为 (x2+3x-4)4=[(x+4)(x-1)]4=(x+4)4(x-1)4，依题可分二类：(x+4)4与(x-1)4中的x分别取1个、不取，和x分别不取，取1个，所以x的系数是C41×43×(-1)4+44×C41×(-1)3=-768．
解法二(直接应用组合推导法)：(x2+3x-4)4看成4个(x2+3x-4)相乘，依题x2不取，3x取1个，剩下的4取3个，所以x的系数是C41×3×(-4)3=-768.
例10． 已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数之比是14:3，求展开式中的常数项与二项式系数的最大值。
解：依题Cn4:Cn2=14:3， 得(n-2)(n-3)=56， 解得n=10或n=-5(舍去).
从而取2个，得到常数项为C102(-2)2=180；
二项式系数的最大值为C105=252.
说明：二项展开式相应的二项式系数具有对称性，先增后减，中间项的二项式系数最大。若n是偶数，最大的二项式系数是；若n是奇数，中间项有两项，最大的二项式系数是。
二、已知二项展开式的某项或某项的系数，求相应的常数.
11．(2014年高考全国卷2)(x+a)10的展开式中x7的系数为15，则a= .
解析：依题a要取3个，故系数是C103a3=15，解得a=.
12．(2014年高考湖北卷)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a= ( )
A．2 B． C．1 D．
解析：依题2x要取2个，故系数是C72×22a5=84，解得a=1，故选C.
13．(2014年高考山东卷)若的展开式中x3的项系数为20，则a2+b2的最小值为 .
解析：依题ax2要取3个，故系数是C63a3b3=20，解得ab=1，
由a2+b2≥2ab=2，得所求最小值为2.
14．(2013年高考新课标全国卷2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
解析：原式可化为(1＋x)5+ ax(1＋x)5，依题两部分的(1＋x)5中x分别要取2个和取1个，故x2的系数为C52+aC51=5，解得a＝－1，故选D.
上述例子说明了，应用组合推导法求二项展开式的某项或某项的系数比套用通项公式又快又好，可以起到事半功倍的效果。
参考文献：
［１］普通高中课程标准实验教科书　数学　选修２—３
［２］2008—2013年数学高考真题
［３］2014年数学高考真题

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