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初等数论：不定方程与高斯函数
一、不定方程
不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
1．不定方程问题的常见类型：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；
（5）无穷递推法。
以下给出几个求解定理：
（一）二元一次不定方程（组）
定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程
定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；
定理2.若(a,b)1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成
（t为任意整数)。
定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c(a1 ,a2, …an,c∈N) 有解的充要条件是 (a1, …,an )|c.
方法与技巧：
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；
2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c时，可先顺次求出，……，.若 则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：
求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．m个n元一次不定方程组成的方程组，其中m条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；
3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；
4．无限递降法：若关于正整数的命题P(n)对某些正整数成立，设n0是使成立的最小正整数，可以推出：存在，使得成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：
1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；
2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；
3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；
4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。
定理3 方程x1+ …+xn=k（k∈N+）
（1）非负整数解有组
（2）当k≥n时，正整数解有组
例题
1．求不定方程x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+24的所有正整数解。

2．设k是给定的正整数，k≥2，求证：连续3个正整数的积不能是整数的k次幂

3．确定方程的全部非负整数解

4．求证下列数不能表示为若干连续整数的立方和
（1）38597
（2）36617

5．正整数n不能被2，3整除，且不存在非负整数a，b，使得，求n最小值

6．求的全部正整数解

7．求的整数解

8．试证无整数解

9.试求所有的正整数a，b，c，使

10．试证无非零整数解

11．甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序参加淘汰赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰；胜者再与负方2号队员比赛……，直到一方队员全被淘汰，另一方才算胜利，形成一比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程有几种？

12. m，n∈{1，2，……，2009}，，试求最大值

13.是否存在正整数m，使得方程有无穷组正整数解？

二、高斯函数
1、高斯函数的定义
设，用表示不超过的最大整数(如，)，则称为高斯函数，也叫取整函数。
由定义，，故≥0，称{x}为的小数部分。
2、高斯函数性质
1）x=[x]+{x},0≤{x}<1 ； [x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；
2）当时，有；
3）对于任意实数、，有：，且 ；
4）对于任意整数，有：；
5） ；
6）对于任意正整数及实数，有：；
7）若x∈R+,n∈N*，则不超过x的正整数中，是n的倍数的数共有个；
8）在n!的质因数分解式中，质数p的指数是…
3、函数性质
1）的充要条件是。
2）的充要条件是。
3）若，，，则。
例题
1.求1995！末尾0的个数

2.求

3.求证：对于任意实数都有：。

4.（1）找出一个实数x，满足
（2）求证：满足上述等式的x都不是有理数

5.求证：对任何自然数k（k≥2），存在无理数r，使得任何自然数m，

6.沿圆周按顺序依次写下1到N（N>2）的正整数，要求每对相邻的两位数按十进制至少有一个数字相同。求N最小值

7.找出连续21个整数，使其每个数至少有一个素因子p（2≤p≤13），且每个素因子至少是其中一个数的素因子

　　8 解方程： （第20届莫斯科数学竞赛题）

　　9求方程的正实根。

练习题
1．解不定方程x2+y2+z2=x2y2
2．设k是给定的正整数，k≥2，求证：连续4个正整数的积不能是整数的k次幂
3．求证：不定方程无正整数解
4．求的全部正整数解
5．试求所有的正整数n，使有正整数解
6. 在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？
7.当时，

8、解方程：
9.求证：对于任意n∈N+，存在n个连续正整数，它们都不是素数的整次幂
10、（08年全国高中数学联赛第二试第二题）设是周期函数，和1是的周期且．证明：
（Ⅰ）若为有理数，则存在素数，使是的周期；
（Ⅱ）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期．